Chapitre 11 – Couples de variables à densité
On remarque qu’en posant c =
G(a + b)
G(a)G(b)
1
0
t
a−1 (1 − t)
b−1 dt, on a, pour tout x ∈ R,
f (x) = cg a,l (x) (pour x 0, c’est vrai car f (x) = g a+b,l (x) = 0). Les fonctions f et
g a+b,l sont des densités de probabilités. On en déduit que
1 =
+∞
−∞
f (x) dx = c
+∞
−∞
g a,l (x) dx = c.
Ainsi c = 1, f = g a+b,l et X + Y suit la loi G(a + b, l).
De plus on tire, de c = 1, l’égalité
1
0
t
a−1 (1 − t)
b−1 dt =
G(a)G(b)
G(a + b)
·
b. On a G(1) =
+∞
0
e
−x dx =
−e
−x
+∞
0
= 1. On a donc pour tout x > 0,
g 1,l (x) = le
−lx .
On reconnaît la densité d’une loi exponentielle de paramètre l. On a donc
E(l) = G(l, 1).
On déduit de la question a, par une récurrence évidente sur n ∈ N
∗ , que si X 1 , . . . , X n
sont des variables aléatoires indépendantes telles que X k suive la loi G(a k , l), alors
n
k=1
X k suit une loi G
n
k=1
a k , l
.
Pour n = 1, il n’y a rien à démontrer. Supposons que la propriété est vraie au rang
n et considérons n + 1 variables indépendantes X 1 , . . . , X n+1 telles que X k suive la loi
G(a k , l). Les variables X 1 , . . . , X n sont des variables aléatoires indépendantes donc par
hypothèse de récurrence
n
k=1
X k suit une loi G
n
k=1
a k , l
. Les variables
n
k=1
X k et
X n+1 sont indépendantes d’après le lemme des coalitions, donc d’après la question a,
n+1
k=1
X k =
n
k=1
X k +X n+1 suit une loi G
n
k=1
a k + a n+1 , l
, c’est-à-dire G
n+1
k=1
a k , l
.
Si X 1 , . . . , X n sont des variables aléatoires indépendantes suivant une loi exponentielle
de paramètre l, c’est-à-dire une loi G(l, 1), la variable S = X 1 + · · · + X n suit, d’après
ce qui précède, une loi G(l, n) .
3. a. La variable Y suit la loi N (0, 1). Nous savons que Z = Y
2 est une variable à densité.
Cherchons sa fonction de répartition. La variable Z est positive donc F Z (z) = 0 si
z 0 et, pour z > 0,
F Z (z) = P([Z z]) = P([−
√
z Y
√
z]) = F Y (
√
z) − F Y (−
√
z).
La fonction F Y est dérivable sur R de dérivée f Y : y −→
1
√
2p
e
−
y 2
2 . On obtient une
densité f Z de Z en dérivant F Z . Pour z 0, f Z (z) = 0 et pour z > 0,
f Z (z) =
1
2
√
z
f Y (
√
z) + f Y (−
√
z)
=
1
2
√
z
2
√
2p
e
−
z
2 =
1
√
p
z
−
1
2 e
−
z
2 =
1
√
p
z
1
2 −1 e
−
z
2 .
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On remarque qu’en posant c =
G(a + b)
G(a)G(b)
1
0
t
a−1 (1 − t)
b−1 dt, on a, pour tout x ∈ R,
f (x) = cg a,l (x) (pour x 0, c’est vrai car f (x) = g a+b,l (x) = 0). Les fonctions f et
g a+b,l sont des densités de probabilités. On en déduit que
1 =
+∞
−∞
f (x) dx = c
+∞
−∞
g a,l (x) dx = c.
Ainsi c = 1, f = g a+b,l et X + Y suit la loi G(a + b, l).
De plus on tire, de c = 1, l’égalité
1
0
t
a−1 (1 − t)
b−1 dt =
G(a)G(b)
G(a + b)
·
b. On a G(1) =
+∞
0
e
−x dx =
−e
−x
+∞
0
= 1. On a donc pour tout x > 0,
g 1,l (x) = le
−lx .
On reconnaît la densité d’une loi exponentielle de paramètre l. On a donc
E(l) = G(l, 1).
On déduit de la question a, par une récurrence évidente sur n ∈ N
∗ , que si X 1 , . . . , X n
sont des variables aléatoires indépendantes telles que X k suive la loi G(a k , l), alors
n
k=1
X k suit une loi G
n
k=1
a k , l
.
Pour n = 1, il n’y a rien à démontrer. Supposons que la propriété est vraie au rang
n et considérons n + 1 variables indépendantes X 1 , . . . , X n+1 telles que X k suive la loi
G(a k , l). Les variables X 1 , . . . , X n sont des variables aléatoires indépendantes donc par
hypothèse de récurrence
n
k=1
X k suit une loi G
n
k=1
a k , l
. Les variables
n
k=1
X k et
X n+1 sont indépendantes d’après le lemme des coalitions, donc d’après la question a,
n+1
k=1
X k =
n
k=1
X k +X n+1 suit une loi G
n
k=1
a k + a n+1 , l
, c’est-à-dire G
n+1
k=1
a k , l
.
Si X 1 , . . . , X n sont des variables aléatoires indépendantes suivant une loi exponentielle
de paramètre l, c’est-à-dire une loi G(l, 1), la variable S = X 1 + · · · + X n suit, d’après
ce qui précède, une loi G(l, n) .
3. a. La variable Y suit la loi N (0, 1). Nous savons que Z = Y
2 est une variable à densité.
Cherchons sa fonction de répartition. La variable Z est positive donc F Z (z) = 0 si
z 0 et, pour z > 0,
F Z (z) = P([Z z]) = P([−
√
z Y
√
z]) = F Y (
√
z) − F Y (−
√
z).
La fonction F Y est dérivable sur R de dérivée f Y : y −→
1
√
2p
e
−
y 2
2 . On obtient une
densité f Z de Z en dérivant F Z . Pour z 0, f Z (z) = 0 et pour z > 0,
f Z (z) =
1
2
√
z
f Y (
√
z) + f Y (−
√
z)
=
1
2
√
z
2
√
2p
e
−
z
2 =
1
√
p
z
−
1
2 e
−
z
2 =
1
√
p
z
1
2 −1 e
−
z
2 .
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