Chapitre 11 – Couples de variables à densité
Si z 0, D
est obtenu en enlevant d’un quart de disque un secteur angulaire d’angle
|u|. On a donc A(D
) =
p
4
−
|u|
2
=
p
4
+
u
2
et on trouve encore
F Z (z) =
1
2
+
1
p
Arctan(z).
Ainsi, pour tout z ∈ R, F Z (z) =
1
2
+
1
p
Arctan(z). On reconnaît la fonction de
répartition d’une loi C(1). Donc Z suit une loi C(1).
c. Le couple possède une densité f définie sur R
2 par
f (x, y) =
1
√
2p
e
−
1
2 x
2
1
√
2p
e
−
1
2 y
2
=
1
2p
e
−
1
2 (x
2 +y
2 ) .
On a, pour tout réel z,
F Z (z) = P([Z z) =
D
f (x, y) dx dy,
où D = {(x, y) ∈ R
∗
× R,
y
x
z}. Comme f et paire et D symétrique par rapport à
l’origine, on peut écrire
F Z (z) = 2
D
f (x, y) dx dy,
où D
= {(x, y) ∈ R
∗
+ × R,
y
x
z} On passe en coordonnées polaires (r, a).
Le domaine D
devient D = {(r, u) ∈ R
∗
+ ×
−
p
2
,
p
2
, tan a z}. En posant
Arctan z = u, la condition
y
x
z devient tan a tan u et donc comme
a ∈
−
p
2
,
p
2
, a ∈
−
p
2
, u
. On obtient
F Z (v) = 2
D
1
2p
e
−
1
2 r
2
r dr da
=
1
p
u
−
p
2
da
+∞
0
e
−
1
2 r
2
r dr
=
1
p
u +
p
2
−e
−
1
2 r
2
+∞
0
=1
=
1
p
u +
1
2
=
1
p
Arctan(z) +
1
2
·
La variable Z suit la loi C(1).
2. a. Soit X
= lX. On a, pour tout réel x,
F X (x) = P([X
x]) = P([lX x]) = P
X
x
l
= F X
x
l
=
1
p
Arctan
x
al
+
1
2
d’après la première question. On en déduit que X
suit la loi C(la).
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