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SOLUTIONS
Solutions
La fonction de répartition de X est définie pour tout réel x par
F(x) = f a (x) − lim
−∞
F a =
1
p
Arctan
x
a
+
p
2
=
1
p
Arctan
x
a
+
1
2
·
On a xf a (x) ∼
x→+∞
1
pax
. On en déduit que
+∞
−∞
xf a (x) dx ne converge pas. La variable
X ne possède pas d’espérance.
b. Le couple (X, Y ) suit donc une loi uniforme sur le disque de centre (0, 0) et de rayon 1.
Comme Y est une variable à densité, on a P([Y = 0]) = 0, donc Z est définie presque
sûrement. On a, pour tout réel z,
F Z (z) = P([Z z) =
D
g(x, y) dx dy =
1
p
A(D)
où A(D) est l’aire de D = {(x, y) ∈ R
∗
× R, x
2 + y
2
1,
y
x
z}. On a
D = D
∪ D
, où D
= {(x, y) ∈ R
∗
× R, x
2 + y
2
1, x > 0, y xz} et
D
= {(x, y) ∈ R
∗
× R, x
2 + y
2
1, x < 0, y xz}. Les deux ensembles D
et D
ont même aire, car ils sont symétriques par rapport à (0, 0).
1
−1
1
−1
u
D
D
z
On pose u = Arctan(z).
Si z 0, D
est la réunion d’un quart de disque et d’un secteur angulaire d’angle u.
On a donc A(D
) =
p
4
+
u
2
et
F Z (z) =
1
p
· 2
p
4
+
u
2
=
1
2
+
u
p
=
1
2
+
1
p
Arctan(z).
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