Chapitre 11 – Couples de variables à densité
où D =
(x, y) ∈ (R + )
2 , x
v
1 − v
y
et donc
F V (v) =
+∞
0
v
1−v y
0
l
2 e
−lx e
−ly dx
dy =
+∞
0
−le
−ly
e
−lx
v
1−v y
0
dy
=
+∞
0
−le
−ly
e
−l
v
1−v y
− 1
dy =
+∞
0
−l
e
−
ly
1−v − e
−ly
dy
=
(1 − v)e
−
ly
1−v − e
−ly
+∞
0
= −(1 − v) + 1 = v.
On en déduit que
X
X + Y
suit la loi uniforme sur [0, 1].
2. On calcule F U,V (u, v) = P([U u] ∩ [V v]) pour tout (u, v) ∈ R
2 .
Si u < 0 ou v < 0, on a F U,V (u, v) = 0.
Si u 0 et v ∈ ]0, 1[, on a
[U u]∩[V v] = [X+Y u]∩
1 − v
v
X Y
=
1 − v
v
X Y u − X
∩[X uv].
On en déduit
F U,V (u, v) =
uv
0
u−x
(1−v)x
v
l
2 e
−lx e
−ly dy
dx =
uv
0
le
−lx
−e
−ly
u−x
(1−v)x
v
dx
=
uv
0
l
e
−
lx
v − e
−lu
dx
=
−ve
−l
x
v − lxe
−lu
uv
0
= −ve
−lu
− luve
−lu + v
= v
1 − (1 + lu)e
−lu
.
Enfin si u 0 et v 1, on a F U,V (u, v) = P([U u] ∩ [V v]) = P([U u]).
On vérifie que, pour tout (u, v) ∈ R
2 ,
F U,V (u, v) = F U (u)F V (v).
Les variables U et V sont indépendantes.
10.
1. a. La fonction f a est continue et positive sur R. On a, pour tout réel x,
f a (x) =
1
pa
·
1
1 +
x
a
2
donc une primitive de f a est F a définie par F a (x) =
1
p
Arctan
x
a
. On en déduit
+∞
−∞
f a (x) dx = lim
+∞
F a − lim
−∞
F a =
1
p
p
2
+
p
2
= 1.
Donc f a est une densité de probabilité.
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