© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
On peut calculer E(L) en utilisant cette densité
E(L) =
2
0
xg(x) dx =
2
0
2x
p
√
4 − x 2
dx =
1
p
−2
4 − x 2
2
0
=
4
p
,
mais il est plus simple d’utiliser la formule de transfert
E(L) = E
2 sin
Q
2
=
1
2p
2p
0
2 sin
u
2
du =
1
2p
−4 cos
u
2
2p
0
=
1
2p
(4 + 4) =
4
p
·
On obtient de même,
E(L
2 ) = E(2(1−cos Q)) =
1
2p
2p
0
2(1−cos u) du =
1
2p
[2(u − sin u)]
2p
0 =
1
2p
·4p = 2.
On en déduit
V (L) = E(L
2 ) − (E(L))
2 = 2 −
16
p 2 ·
9.
Les variables X et Y sont indépendantes donc une densité de (X, Y ) s’obtient en faisant
le produit d’une densité de X et d’une densité de Y . On a donc
f (x, y) =
l
2 e
−lx e
−ly
si (x, y) ∈ (R + )
2
0
sinon.
1. La variable U est à valeurs dans R + . On a donc F U (u) = 0 si u 0 et pour u > 0,
F U (u) = P([X + Y u]) =
Du
f (x, y) dx dy,
où D u = {(x, y) ∈ (R + )
2 , x + y = u, donc
F U (u) =
u
0
u−x
0
l
2 e
−lx e
−ly dy
dx =
u
0
le
−lx
−e
−ly
u−x
0
dx
=
u
0
l
−e
−lu + e
−lx
dx =
−lxe
−lu
− e
−lx
u
0
= −lue
−lu
− e
−lu + 1 = 1 − (lu + 1)e
−lu .
Comme X + Y est une variable à densité P([X + Y = 0]) = 0, la variable V est définie
presque sûrement. Les variables X et Y sont positives donc V est à valeurs dans [0, 1]. On
a donc F V (v) = 0 si v 0, F V (v) = 1 si v 1 et pour v ∈ ]0, 1[,
F V (v) = P
X
X + Y
v
= P([X vX + vY ]) = P
X
v
1 − v
Y
.
Comme une densité de (X, Y ) est le fonction (x, y) −→ f (x)f (y), on obtient
F V (v) =
D
l
2 e
−lx e
−ly dx dy,
595