Chapitre 11 – Couples de variables à densité
et de même,
P
0 Y
1
2
= P
0 sin(Q)
1
2
= P
0 Q
p
6
∪
5p
6
Q p
=
p
6
2p
+
p −
5p
6
2p
=
1
6
·
Mais
P
0 X
1
2
∩
0 Y
1
2
= P
0 cos Q
1
2
∩
0 sin Q
1
2
= 0,
car, pour tout réel x, on ne peut pas avoir 0 cos x
1
2
et 0 sin x
1
2
, car alors
cos
2 x + sin
2 x
1
2
· Comme
P
0 X
1
2
∩
0 Y
1
2
= P
0 X
1
2
P
0 Y
1
2
,
les variables X et Y ne sont pas indépendantes.
2. La variable L est à valeurs dans [0, 2]. On a
L
2 = (X − 1)
2 + Y
2 = X
2 + Y
2 + 1 − 2X = 2 − 2X = 2(1 − cos Q) = 4 sin
2 Q
2
et donc L = 2 sin
Q
2
, car si u ∈ [0, 2p], sin
u
2
0.
Déterminons sa fonction de répartition F L . On a donc F L (x) = 0 si x < 0, F L (x) = 1 si
x > 2 et pour tout x ∈ [0, 2],
F L (x) = P([0 L x]) = P
sin
Q
2
x
2
= P
0
Q
2
Arcsin
x
2
∪
p − Arcsin
x
2
Q
2
p
= P
0 Q 2 Arcsin
x
2
∪
2p − 2 Arcsin
x
2
Q 2p
=
1
2p
4 Arcsin
x
2
=
2
p
Arcsin
x
2
·
La fonction F L est continue en 0 et 2, car lim
x→0
2
p
Arcsin
x
2
=
2
p
Arcsin 0 = 0 et
lim
x→0
2
p
Arcsin
x
2
=
2
p
Arcsin 1 = 1. Elle est dérivable sauf en 0 et 2 et à dérivée continue
donc elle possède une densité g définie par g(x) = 0 si x 0 ou x 2 et pour x ∈ ]0, 2[,
g(x) = F
L (x) =
2
p
·
1
2
·
1
1 −
x 2
4
=
2
p
√
4 − x 2
·
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