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SOLUTIONS
Solutions
où D =
(x, y) ∈ [0, ]
2 , min(x, y) <
2
, max(x, y) >
2
, max(x, y) − min(x, y) <
2
. En
distinguant les cas x < y et x y, on montre que D = D
∪ D
, où
D
=
(x, y) ∈ [0, ]
2 , x <
2
, y >
2
, y − x <
2
,
D
=
(x, y) ∈ [0, ]
2 , y <
2
, x >
2
, x − y <
2
.
Comme D
et D
sont des triangles rectangles isocèles de côté
2
, on a
A(D) = 2 ·
1
2
·
2
2
=
2
4
et
p =
1
4
·
8.
Soit (O, − → ı − → j ) le repère. On peut repérer le point M par une mesure de l’angle
( −
→ ı ,
− − →
OM). Soit Q la variable aléatoire égale à cette mesure. Le point M étant choisi au hasard
sur le cercle, on supposera que Q suit la loi uniforme sur [0, 2p]. La densité f de Q est définie
par
f (u) =
⎧
⎨
⎩
1
2p
si u ∈ [0, 2p]
0
sinon.
1. On a X = cos Q et Y = sin Q. Les variables X, Y et XY sont bornées donc admettent
une espérance donnée par la formule de transfert. On obtient
E(X) =
+∞
−∞
cos(u)f (u) du =
2p
0
1
2p
cos(u) du =
1
2p
sin(u)
2p
0
= 0,
E(Y ) =
+∞
−∞
sin(u)f (u) du =
2p
0
1
2p
sin(u) du =
−
1
2p
cos(u)
2p
0
= 0,
E(XY ) =
+∞
−∞
sin(u) cos(u)f (u) du =
2p
0
1
4p
sin(2u) du =
−
1
8p
cos(2u)
2p
0
= 0.
On en déduit que
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = 0.
On a
P
0 X
1
2
= P
0 cos(Q)
1
2
= P
p
3
Q
p
2
∪
3p
2
Q
5p
3
=
p
2 −
p
3
2p
+
5p
3 −
3p
2
2p
=
1
6
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