Chapitre 11 – Couples de variables à densité
On obtient une densité de T en dérivant
f T (t) =
⎧
⎨
⎩
−t
2 + 2t
si t ∈ [0, 1]
t
2
− 4t + 4 = (t − 2)
2
si t ∈ ]1, 2]
0
sinon.
6. La variable est bornée donc possède une espérance et une variance. On obtient
E(T) =
2
0
tf T (t) dt =
1
0
(−t
3 + 2t
2 ) dt +
2
1
(t
3
− 4t
2 + 4t) dt
=
−
1
4
t
4 +
2
3
t
3
1
0
+
1
4
t
4
−
4
3
t
3 + 2t
2
2
1
=
5
6
E(T
2 ) =
2
0
t
2 f T (t) dt =
1
0
(−t
4 + 2t
3 ) dt +
2
1
(t
4
− 4t
3 + 4t
2 ) dt
=
−
1
5
t
5 +
1
2
t
4
1
0
+
1
5
t
5
− t
4 +
4
3
t
3
2
1
=
5
6
et donc
V (T) = E(T
2 ) − (E(T ))
2 =
5
6
−
25
36
=
5
36
·
7.
On rappelle qu’étant donnés trois réels positifs x, y, z, il existe un triangle dont les
longueurs des côtés sont x, y et z si, et seulement si, chaque longueur est strictement inférieure
à la somme des deux autres, i.e. x < y + z, y < z + x et z < x + y. Ici les trois longueurs sont
inf(X, Y ), sup(X, Y ) − inf(X, Y ) et − sup(X, Y ). On a donc les conditions
inf(X, Y ) < sup(X, Y ) − inf(X, Y ) + − sup(X, Y ), c’est-à-dire inf(X, Y ) <
2
,
sup(X, Y ) − inf(X, Y ) < inf(X, Y ) + − sup(X, Y ), c’est-à-dire sup(X, Y ) − inf(X, Y ) <
2
et − sup(X, Y ) < inf(X, Y ) + sup(X, Y ) − inf(X, Y ), c’est-à-dire sup(X, Y ) >
2
Le couple [X, Y ] suit une loi uniforme sur [0, ]
2 . Il a pour densité la fonction f définie par
f (x, y) =
1
2 si (x, y) ∈ [0, ]
2
0
sinon.
La probabilité p cherchée est
p = P
inf(X, Y ) <
2
, sup(X, Y ) >
2
, sup(X, Y ) − inf(X, Y ) <
2
=
1
2 A(D),
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