© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
On remarque que U − V = |X − Y | = W , car pour tout (x, y) ∈ R
2 ,
|x − y| = max(x, y) − min(x, y), comme on le voit en distinguant x y et x > y. Ainsi
[U < V + Z] = [W < Z] et la probabilité que C termine sa communication en dernier
est P([W < Z]).
Connaissant une densité f de (W, Z), on en déduit que
P([W < Z]) =
D
f (w, z) dw dz =
D
(2 − 2w) dw dz,
où D = {(w, z) ∈ [0, 1]
2 , w < z}. On obtient
P([W < Z]) =
1
0
z
0
(2 − 2w) dw
dz =
1
0
(2z − z
2 ) dz =
2
3
·
5. Le temps total passé dans le bureau de poste par C est d’après ce qui précède, T = V + Z.
Les variables X, Y, Z sont mutuellement indépendantes donc V = inf(X, Y ) et Z sont
indépendantes, d’après le lemme des coalitions. Une densité g de (V, Z) s’obtient en faisant
le produit d’une densité de V et d’une densité de Z. Comme V et W ont même densité,
on obtient g = f
La variable T est à valeurs dans [0, 2] et pour t ∈ [0, 2],
P([T t]) = P([V + Z t]) =
Dt
f (v, z) dv dz =
Dt
(2 − 2v) dv dz,
où D t = {(v, z) ∈ [0, 1]
2 , v + z t}.
Si t ∈ [0, 1], (v, z) ∈ D t si z ∈ [0, t] et v t − z et
P([T t]) =
t
0
t−z
0
(2 − 2v) dv
dz =
t
0
(2(t − z) − (t − z)
2 ) dz
=
−(t − z)
2 +
1
3
(t − z)
3
t
0
= −
1
3
t
3 + t
2 .
Si t ∈ [1, 2], il est plus simple de calculer P([T > t]), car (v, z) /
∈ D t , i.e. v + z > t, si
z ∈ [t − 1, 1] et v > t − z et
P([T > t]) =
1
t−1
1
t−z
(2 − 2v) dv
dz =
1
t−1
2v − v
2
1
t−z
dz
=
1
t−1
(1 − 2(t − z) + (t − z)
2 ) dz =
z + (t − z)
2
−
1
3
(t − z)
3
1
t−1
= 1 + (t − 1)
2
−
1
3
(t − 1)
3
− (t − 1) − 1 +
1
3
= −
1
3
t
3 + 2t
2
− 4t +
8
3
·
On en déduit
P([T t]) = 1 − P([T > t]) =
1
3
t
3
− 2t
2 + 4t −
5
3
·
591