Chapitre 11 – Couples de variables à densité
et donc
V (U) = E(U
2 ) − (E(U))
2 =
1
2
−
4
9
=
1
18
V (V ) = E(V
2 ) − (E(V ))
2 =
1
6
−
1
9
=
1
18
·
On remarque que UV = XY . On en déduit que
E(UV ) = E(XY ) = E(X)E(Y ) =
1
4
,
car X et Y sont indépendantes et l’espérance de la loi uniforme sur [0, 1] est
1
2
· On en
déduit
Cov(U, V ) = E(UV ) − E(U)E(V ) =
1
4
−
2
9
=
1
36
puis
r(U, V ) =
Cov(U, V )
s(U)s(V )
=
1
36
1
18
=
1
2
·
2. La variable W = |X − Y | est à valeurs dans [0, 1]. On a donc F W (w) = 0 si w < 0,
F W (w) = 1 si t > 1. Le couple (X, Y ) suit la loi uniforme sur [0, 1]
2 et pour w ∈ [0, 1],
F W (w) = P([|X − Y | w]) = P([(X, Y ) ∈ D w ) = A(D w ),
où A est l’aire et D w = {(x, y) ∈ [0, 1]
2 , |x − y| w}. Le complémentaire de D w dans
[0, 1]
2 est la réunion de deux triangles de côtés 1 − w, donc
F W (w) = 1 − 2
(1 − w)
2
2
= 1 − (1 − w)
2 = 2w − w
2 .
La loi de W est donc la même que celle de V . On a donc
f W (w) =
2 − 2w si t ∈ [0, 1]
0
sinon.
3. Les variables aléatoires X, Y, Z sont mutuellement donc par le lemme des coalitions, les
variables aléatoires W et Z sont indépendantes. Une densité f du couple (W, Z) s’obtient
en faisant le produit d’une densité de W par une densité de Z. On obtient, pour tout
(w, z) ∈ R
2 ,
f (w, z) =
2 − 2w si (w, z) ∈ [0, 1]
2
0
sinon.
4. Le temps total de présence de C dans la poste est la somme son temps d’attente V (il peut
téléphoner dès que A ou B a terminé) et de son temps de communication Z. C’est donc
V + Z. Entre A et B le temps de communication le plus long est U. Ainsi l’événement « C
termine sa communication en dernier » est
[U < V + Z] = [U − V < Z].
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