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SOLUTIONS
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Par ailleurs, l’événement S est réalisé si B arrive après A, i.e. si x Y 1 ou s’il est déjà
reparti, i.e Y < x −
1
6
(ce qui n’est possible que si x >
1
6
). On a donc
S = [x < Y 1] ∩
Y < x −
1
6
.
On obtient
si x
1
6
, P(S) = P([x < Y 1]) = 1 − x ;
si x >
1
6
, P(S) = P([x < Y 1]) + P(
Y < x −
1
6
) = 1 − x + x −
1
6
=
5
6
·
On en déduit,
si x
1
6
, P(R/S) =
1
6(1 − x)
;
si
1
6
< x
5
6
, P(R/S) =
1
5
;
si x >
5
6
, P(R/S) =
6(1 − x)
5
·
6.
1. Les variables U et V sont à valeurs dans [0, 1]. On a donc F U (x) = F V (x) = 0 si
x < 0 et F U (x) = F V (x) = 1 si x > 1. Soit x ∈ [0, 1]. On a alors, par indépendance des
variables X et Y ,
F U (x) = P([U x]) = P([X x] ∩ [Y x]) = P([X x])P([Y x]) = x
2 ,
F V (x) = P([V x]) = 1 − P([V > x]) = 1 − P([X > x] ∩ [Y > x])
= 1 − P([X > x])P([Y > x]) = 1 − (1 − x)
2 = 2x − x
2 .
Les fonctions F U et F V sont continues sur R (il suffit de vérifier la continuité en 0 et 1)
et de classe C
1 sur R \ {0, 1}. Donc U et V sont des variables à densité dont des densités
s’obtiennent en dérivant F U et F V . On obtient
f U (x) =
2x si x ∈ [0, 1]
0 sinon
et f V (x) =
2 − 2x si x ∈ [0, 1]
0
sinon
Comme les variables U et V sont bornées elles possèdent une espérance et une variance.
On obtient
E(U) =
1
0
xf U (x) dx =
1
0
2x
2 dx =
2
3
E(V ) =
1
0
xf V (x) dx =
1
0
(2x − 2x
2 ) dx =
1
3
,
E(U
2 ) =
1
0
x2f U (x) dx =
1
0
2x
3 dx =
1
2
E(V
2 ) =
1
0
x
2 f V (x) dx =
1
0
(2x
2
− 2x
3 ) dx =
1
6
,
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