© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
On sait que
+∞
0
e
−x = 1, car on reconnaît l’intégrale de la densité d’une variable
suivant une loi exponentielle. Pour l’autre partie de l’intégrale, on se ramène à la
densité de la normale centrée réduite. On écrit
e
−(x+x
2 ) = e
−(x+
1
2 )
2 +
1
4 .
d’où l’on déduit
+∞
0
e
−(x+x
2 ) dx = e
1
4
+∞
0
e
−(x+
1
2 )
2
dx = e
1
4
+∞
1
2
e
−t
2
dt
= e
1
4
+∞
1
2
e
−
(t
√
2) 2
2
dt = e
1
4
1
√
2
+∞
√
2
2
e
−
u 2
2 du
= e
1
4
√
p
+∞
√
2
2
1
√
2p
e
−
u 2
2 du = e
1
4
√
p
1 − F
√
2
2
.
On en déduit
p 1 = −
+∞
0
e
−(x+x
2 ) dx +
+∞
0
e
−x dx = −e
1
4
√
p
1 − F
√
2
2
+ 1.
c. Comme la probabilité que l’équation ait une racine double est nulle, on en déduit
p 2 = 1 − p 1 = e
1
4
√
p
1 − F
√
2
2
.
5.
On prend 15 heures comme origine des temps. l’unité de temps est l’heure. Soient X
et Y les variables aléatoires représentant l’heure d’arrivée de A et B. Ce sont des variables aléatoires indépendantes suivant le loi uniforme sur [0, 1]. Le couple (X, Y ) suit une loi uniforme
sur [0, 1]
2
1. L’événement R « les deux personnes se rencontrent » est réalisé si leurs heures d’arrivée
sont séparées par un intervalle de temps inférieur à 10 minutes. On a donc
P(R) = P
|X − Y |
1
6
.
Cette probabilité est égale à A(D), où A est l’aire et
D =
(x, y) ∈ [0, 1]
2 , |x − y|
1
6
.
L’ensemble [0, 1]
2
\ D est la réunion de deux triangles de côtés
5
6
·
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