Chapitre 11 – Couples de variables à densité
1
1
D 2
On a donc
p 2 =
1
0
(1 − x
2 ) dx = 1 −
1
3
=
2
3
·
c. Comme l’événement « l’équation possède une unique racine » est le complémentaire
de la réunion des deux événements précédents, sa probabilité est p 3 = 1 − p 1 − p 2 = 0.
On pourrait aussi dire que A
2
− B est une variable à densité. En effet A
2 et −B sont
des variables à densité indépendantes donc A
2
− B est une somme de variables à densité
indépendantes. Pour une variable à densité X, on a, pour tout réel x, P([X = x]) = 0.
On a donc P([D = 0]) = P([A
2
− B = 0]) = 0.
2. a. Commençons par la troisième question. Pour la raison mentionnée à la fin de la question précédente, on a encore p 3 = P([D = 0]) = 0.
b. Le couple (A, B) est à valeurs dans (R + )
2 de densité f , produit des densités de A et B
donc définie par
f (x, y) =
e
−x e
−y
si x 0 et y 0
0
sinon.
On a
p 1 = P([D > 0]) =
D1
f (x, y) dx dy,
où D 1 = {(x, y) ∈ (R + )
2 , x
2
− y 0} = {(x, y) ∈ (R + )
2 , 0 y x
2
}.
Pour x 0, on calcule
w(x) =
x
2
0
f (x, y) dy =
x
2
0
e
−x e
−y dy = e
−x
−e
−y
x
2
0
= e
−x
−e
−x
2
+ 1
= −e
−(x+x
2 ) + e
−x .
Il s’agit ensuite de calculer
+∞
0
w(x) dx.
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