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SOLUTIONS
Solutions
Pour y > 0, f Y (y) = 0 donc on peut définir la loi de X conditionnelle à [Y = y].
On obtient, pour 0 < y < 1,
f X/[Y =y] =
f (x, y)
f Y (y)
=
⎧
⎨
⎩
1
x 2 y
si x
1
y
0
sinon.
Enfin, pour y 1, on a
f X/[Y =y] =
f (x, y)
f Y (y)
=
y
x 2 si x y
0
sinon.
4.
1. Le couple (A, B) suit une loi uniforme sur [0, 1]
2 de densité 1 sur [0, 1]
2 et 0
ailleurs. Pour toute partie élémentaire D du plan, on a
P([(A, B) ∈ D]) = P([(A, B) ∈ D ∩ [0, 1]
2 ]) = A(D ∩ [0, 1]
2 ),
où A est l’aire.
Posons D = 4A
2
− 4B = 4(A
2
− B).
a. La probabilité d’obtenir deux racines réelles est
p 1 = P([D > 0]) = P([A
2 > B]) = P([(A, B) ∈ D 1 ]) = A(D 1 ),
où D 1 = {(x, y) ∈ [0, 1]
2 , x
2 > y}. Il s’agit de l’aire de la partie du carré limitée par
l’axe des abscisses et la parabole y = x
2 .
1
1
D 1
On a donc
p 1 =
1
0
x
2 dx =
1
3
·
b. De même, la probabilité d’obtenir deux racines complexes non réelles est
p 2 = P([A
2 < B]) = P([(A, B) ∈ D 2 = A(D 2 ),
où D 2 = {(x, y) ∈ [0, 1]
2 , x
2 < y}. Il s’agit de la partie du carré entre la parabole et la
droite y = 1.
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