Chapitre 11 – Couples de variables à densité
2. Les lois marginales s’obtiennent en intégrant f par rapport à une variable.
On a déjà calculé
+∞
−∞
f (x, y) dy = w(x) pour x fixé, qui donne une densité f X de X.
Compte tenu de k =
1
2
, on obtient
f X (x) =
⎧
⎨
⎩
0
si x < 1
ln x
x 2
si x 1·
Considérons maintenant un réel y. Si y 0, on f (x, y) = 0 pour tout réel x donc f Y (y) = 0.
Supposons y > 0. On a f (x, y) = 0 si x 1 et
1
x
y x, c’est-à-dire x 1, x
1
y
et
x y, ou encore x max(1, y,
1
y
).
• Si y 1, ces conditions se réduisent à x y et on a
f Y (y) =
+∞
y
f (x, y) dx =
+∞
y
1
2x 2 y
dx.
Une primitive de x −→
1
2x 2 y
est x −→ −
1
2xy
· La limite de cette primitive en +∞ est 0
et sa valeur en y est −
1
2y 2 · On obtient donc
f Y (y) = 0 +
1
2y 2 =
1
2y 2 ·
• Si 0 < y < 1, les conditions deviennent x
1
y
et
f Y (y) =
+∞
1
y
1
2x 2 y
dx.
On considère la même primitive que dans le cas précédents. Sa valeur en
1
y
est −
1
2
, donc
f Y (y) =
1
2
·
On a donc
f Y (y) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0
si y 0
1
2
si 0 < y < 1
1
2y 2 si y 1.
Déterminons les densités conditionnelles.
Pour x > 1, f X (x) = 0, donc on peut définir la loi de Y conditionnelle à [X = x]. On
obtient
f Y /[X=x] (y) =
f (x, y)
f X (x)
=
⎧
⎨
⎩
1
2y ln x
si
1
x
y x
0
sinon.
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