© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
On peut vérifier que le fonction de répartition de T est continue sur R et dérivable sauf
en 0, 1, 2. Une densité de T s’obtient en dérivant la fonction de répartition. On obtient
g(t) =
t
si t ∈ [0, 1]
2 − t si t ∈ ]1, 2] .
2. Posons U =
1
2
T. La variable aléatoire U est à valeurs dans [0, 1]. On a, pour tout x ∈ R,
F U (x) = P([U x]) = P([T 2x]) = F T (2x).
On en déduit une densité h de U. Pour tout x ∈ R, h(x) = 2g(2x). On en déduit donc
h(x) = 0 si x /
∈ [0, 1] et
h(x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
4x
si t ∈
0,
1
2
4 − 4x si t ∈
1
2
, 1
.
3. Soit V = X + Y + Z = T + Z = Z + T. La variable V est valeurs dans [0, 3]. Les variables
X, Y, Z étant indépendantes, les variables T et Z sont indépendantes. Un densité k de V
est donnée par le produit de convolution de f et g. On a, pour tout x /
∈ [0, 3], k(x) = 0.
Si x ∈ [0, 3], on a
k(x) =
+∞
−∞
f (t)g(x − t) dt =
1
0
g(x − t) dt.
Si x ∈ [0, 1], on a
k(x) =
x
0
g(x − t) dt =
x
0
g(u)du =
x
0
udu =
x
2
2
·
Si x ∈ [1, 2], on a
k(x) =
x−1
0
g(x − t) dt +
1
x−1
g(x − t) dt =
x
1
g(u)du +
1
x−1
g(u) du
=
x
1
(2 − u) du +
1
x−1
u du =
2u −
u
2
2
x
1
+
u
2
2
1
x−1
= 2x −
x
2
2
− 2 +
1
2
+
1
2
−
(x − 1)
2
2
= −x
2 + 3x −
3
2
·
Si enfin x ∈ [2, 3], on a x − t 2 si t x − 2 ; x − 2 ∈ [0, 1] donc
k(x) =
1
x−2
g(x − t) dt =
2
x−1
g(u) du =
2
x−1
(2 − u) du =
2u −
u
2
2
2
x−1
= 4 − 2 − 2(x − 1) +
(x − 1)
2
2
=
x
2
2
− 3x +
9
2
·
581