Chapitre 11 – Couples de variables à densité
• g est donnée par le produit de convolution de f et f . On a, pour tout t ∈ [0, 2],
g(t) =
+∞
−∞
f (x)f (t − x) dx =
1
0
f (t − x) dx.
Si t ∈ [0, 1], on a, pour x ∈ [0, 1], f (t − x) = 1 si x ∈ [0, t] et f (t − x) = 0 si x ∈ ]t, 1].
On en déduit
g(t) =
t
0
dx = t.
Si t ∈ ]1, 2], pour tout x ∈ [0, 1], t − x 0 et t − x 1 si x t − 1. On a donc
g(t) =
1
t−1
dt = 2 − t.
• Le couple (X, Y ) suit une loi uniforme sur [0, 1]
2 . Pour toute partie D de [0, 1]
2 , on a
P([(X, Y ] ∈ D]) = A(D) où A représente l’aire. Pour tout x ∈ [0, 2],
F T (t) = P([T t]) = P([(X, Y ) ∈ D t ]),
où D t = {(x, y) ∈ [0, 1]
2 , x + y t}.
Si t 1, D t est un triangle isocèle rectangle de côté t. On en déduit F T (t) =
1
2
t
2 .
1
1
D t
t
t
Si 1 < t 2, [0, 1]
2
\ D t est un triangle de côté 2 − t. On a donc F T (t) = 1 −
1
2
(2 − t)
2 .
1
1
D t
t
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