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SOLUTIONS
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4. On a donc
P([Z = 0]) = P([7, 5 < D < 8, 5]) = P
7, 5 − m
0, 4
<
D − m
0, 4
<
8, 5 − m
0, 4
= F
8, 5 − m
0, 4
− F
7, 5 − m
0, 4
,
P([Z = 10]) = P([D 7, 5]) = F
7, 5 − m
0, 4
P([Z = 3]) = P([D 8, 5]) = 1 − F
8, 5 − m
0, 4
.
On en déduit
E(Z) = 3P([Z = 3]) + 10P([Z = 10]) = 3 − 3F
8, 5 − m
0, 4
+ 10F
7, 5 − m
0, 4
.
Posons g(m) = E(Z). La fonction F est dérivable sur R et F
(x) =
1
√
2p
e
−
1
2 x
2 . On en
déduit que g est dérivable sur R et
g
(m) =
3
0, 4
F
8, 5 − m
0, 4
−
10
0, 4
F
7, 5 − m
0, 4
=
1
0, 4
√
2p
3e
−
1
2 (8,5−m)
2 − 10e
−
1
2 (7,5−m)
2
=
3
0, 4
√
2p
e
−
1
2 (7,5−m)
2
e
1
2 (−(8,5−m)
2 +(7,5−m)
2 ) −
10
3
=
3
0, 4
√
2p
e
−
1
2 (7,5−m)
2
e
m−8
−
10
3
.
Ainsi g
(m) = 0 si et seulement si m−8 = ln
10
3
, soit m = 8+ln
10
3
· Posons m 0 = 8+ln
10
3
·
On a, g
(m) > 0 si et seulement m > m 0 . La fonction g est décroissante sur ] − ∞, m 0 ] et
croissante sur [m 0 , +∞[. La fonction possède un minimum absolu en m 0 . Ainsi E(Z) est
minimale pour m = m 0 = 8 + ln
10
3
≈ 9, 20.
Chapitre 11
1.
1. Soit f une densité de la loi uniforme sur [0, 1] : f (x) = 1 si x ∈ [0, 1] et f (x) = 0
si x /
∈ [0, 1].
Soit g une densité de T = X + Y . La variable T est à valeurs dans [0, 2] donc on peut
prendre g(t) = 0 si t /
∈ [0, 2].
Nous proposons deux méthodes pour déterminer g sur [0, 2].
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