Chapitre 10 – Variables aléatoires à densité
On reconnaît une densité de la loi B(k, n − k + 1) (elle ne diffère de la définition donnée
dans l’exercice 3. qu’en 0 et 1). On en déduit, en appliquant les résultats de l’exercice 3.,
E(Y k ) =
k
n + 1
et V (Y k ) =
k(n − k + 1)
(n + 1) 2 (n + 2)
·
13.
On note F la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
1. La variable
D − 8
0, 4
suit la loi normale centrée réduite. On obtient donc
P([D < 7, 5]) = P
D − 8
0, 4
< −
0, 5
0, 4
= F(−1, 25) = 1 − F(1, 25) ≈ 0, 1056,
P([D > 9]) = P
D − 8
0, 4
>
1
0, 4
= 1 − F(2, 5) ≈ 0, 0062
P([7, 5 < D < 8, 5]) = P
−
0, 5
0, 4
<
D − 8
0, 4
<
0, 5
0, 4
= F(1, 25) − F(−1, 25) = 2F(1, 25) − 1 ≈ 0, 7888.
2. On cherche p = 1 − P([7, 5 < D < 8, 5]). On trouve
a.
p = 1 − P
0 <
D − 7, 5
0, 4
< 2, 5
= 1 − F(2, 5) + F(0) ≈ 0, 5062 ;
b.
p = 1 − P
−1, 25 <
D − 8
0, 4
< 1, 25
= 1 − (2F(1, 25) − 1) = 2 − 2F(1, 25) ≈ 0, 2112 ;
c.
p = 1 − P
−2, 5 <
D − 8, 5
0, 4
< 0
= 1 − F(0) + F(−1, 25) = −F(0) + 2 − F(1, 25) ≈ 0, 6056.
3. On veut calculer p
= P [D<8,5]
[7, 5 < D < 8, 5]
=
P
[7, 5 < D < 8, 5]
P
[D < 8, 5]
. D’après la
première question P
[7, 5 < D < 8, 5]
≈ 0, 7888. D’autre part,
P
[D < 8, 5]
= P
D − 8
0, 4
< 1, 25
= F(1, 25) ≈ 0, 8944.
On en déduit p
≈ 0, 8819.
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