Chapitre 10 – Variables aléatoires à densité
b. Une densité de X n est f n . On en déduit, pour l > 0,
P([X n > 2l]) = 1 − P([X n 2l]) = 1 −
2l
0
1
(n − 1)!2 n x
n−1 e
−
x
2 dx
= 1 −
l
0
1
(n − 1)!
t
n−1 e
−t dt
avec le changement de variable x = 2t. En multipliant par e
−l l’égalité démontrée dans
la question a, on obtient
1 =
n−1
k=0
e
−l l
k
k!
+
l
0
e
−t t
n−1
(n − 1)!
dt
et donc
P([X n > 2l]) =
n−1
k=0
e
−l l
k
k!
= P([Y l < n]),
puisque Y l suit une loi de Poisson de paramètre l.
12.
1. Considérons, pour 1 k n, la variable Z k indicatrice de l’événement [X k x]
(on rappelle que c’est la variable qui vaut 1 si [X k x] est réalisé et 0 sinon). Elle suit une
loi de Bernoulli de paramètre P([X k x]) = F(x). On a clairement
N x = Z 1 + Z 2 + · · · + Z n .
Pour tout k ∈ [[1, n]], la variable Z k est une fonction de la variable X k uniquement. Les
variables X 1 , . . . , X n étant indépendantes, il en est de même des variables Z 1 , . . . , Z n . Ainsi
la variable N x est une somme de n variables de Bernoulli de même paramètre F(x). On sait
qu’alors N x suit la loi binomiale de paramètre (n, F(x)).
2. Pour k ∈ [[1, n]] et v ∈ V, Y r (v) est le k-ième réel si on classe X 1 (v), . . . , X n (v) par ordre
croissant (avec éventuellement des termes égaux). On a Y k (v) x si les k plus petites
valeurs de cette listes sont inférieures ou égales à x, ce qui équivaut à : il y a au moins k
valeurs de cette liste inférieures ou égales à x (car alors a fortiori les k plus petites valeurs
sont inférieures ou égales à x). On en déduit que
[Y k x] = [N x k].
3. On déduit des deux questions précédentes que, pour tout x ∈ R,
F k (x) = P([Y k x]) = P([N x k]) =
n
i=k
P([N x = i]) =
n
i=k
n
i
(F(x))
i (1 − F(x))
n−i .
La fonction F est continue sur R et de classe C
1 sauf en un nombre fini de points. Il en est
de même de F k . On en déduit que Y k possède une densité f k qui s’obtient en dérivant F k
(la où c’est possible). On obtient, pour tout réel x,
f k (x) =
n
i=k
n
i
if (x)
F(x)
i−1
1 − F(x)
n−i − (n − i)f (x)
F(x)
i
1 − F(x)
n−i−1
.
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b. Une densité de X n est f n . On en déduit, pour l > 0,
P([X n > 2l]) = 1 − P([X n 2l]) = 1 −
2l
0
1
(n − 1)!2 n x
n−1 e
−
x
2 dx
= 1 −
l
0
1
(n − 1)!
t
n−1 e
−t dt
avec le changement de variable x = 2t. En multipliant par e
−l l’égalité démontrée dans
la question a, on obtient
1 =
n−1
k=0
e
−l l
k
k!
+
l
0
e
−t t
n−1
(n − 1)!
dt
et donc
P([X n > 2l]) =
n−1
k=0
e
−l l
k
k!
= P([Y l < n]),
puisque Y l suit une loi de Poisson de paramètre l.
12.
1. Considérons, pour 1 k n, la variable Z k indicatrice de l’événement [X k x]
(on rappelle que c’est la variable qui vaut 1 si [X k x] est réalisé et 0 sinon). Elle suit une
loi de Bernoulli de paramètre P([X k x]) = F(x). On a clairement
N x = Z 1 + Z 2 + · · · + Z n .
Pour tout k ∈ [[1, n]], la variable Z k est une fonction de la variable X k uniquement. Les
variables X 1 , . . . , X n étant indépendantes, il en est de même des variables Z 1 , . . . , Z n . Ainsi
la variable N x est une somme de n variables de Bernoulli de même paramètre F(x). On sait
qu’alors N x suit la loi binomiale de paramètre (n, F(x)).
2. Pour k ∈ [[1, n]] et v ∈ V, Y r (v) est le k-ième réel si on classe X 1 (v), . . . , X n (v) par ordre
croissant (avec éventuellement des termes égaux). On a Y k (v) x si les k plus petites
valeurs de cette listes sont inférieures ou égales à x, ce qui équivaut à : il y a au moins k
valeurs de cette liste inférieures ou égales à x (car alors a fortiori les k plus petites valeurs
sont inférieures ou égales à x). On en déduit que
[Y k x] = [N x k].
3. On déduit des deux questions précédentes que, pour tout x ∈ R,
F k (x) = P([Y k x]) = P([N x k]) =
n
i=k
P([N x = i]) =
n
i=k
n
i
(F(x))
i (1 − F(x))
n−i .
La fonction F est continue sur R et de classe C
1 sauf en un nombre fini de points. Il en est
de même de F k . On en déduit que Y k possède une densité f k qui s’obtient en dérivant F k
(la où c’est possible). On obtient, pour tout réel x,
f k (x) =
n
i=k
n
i
if (x)
F(x)
i−1
1 − F(x)
n−i − (n − i)f (x)
F(x)
i
1 − F(x)
n−i−1
.
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