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SOLUTIONS
Solutions
On remarque que E(Z) = E(X) − E(Y ), ce qui résulte de Z = X − Y par linéarité de
l’espérance. Cette propriété reste vraie bien qu’on ait un mélange de variables discrètes
et de variables à densité.
11.
1. a. Pour n 1, la fonction x −→ x
n−1 e
−
x
2 est continue sur R + et positive. Au
voisinage de +∞, on a x
n−1 e
−
x
2 = o
1
x 2
donc I n converge.
On intègre par parties, en intégrant l’exponentielle. Pour n 2 et a 0,
a
0
x
n−1 e
−
x
2 dx =
−2x
n−1 e
−
x
2
a
0
+
a
0
2(n − 1)x
n−2 e
−
x
2 dx
= −2a
n−1 e
−
a
2 + 2(n − 1)
a
0
x
n−2 e
−
x
2 dx.
Quand a tend vers +∞, 2a
n−1 e
−
a
2 tend vers 0 et on obtient
I n = 2(n − 1)I n−1 .
En réitérant cette relation , on obtient
I n = (2(n − 1))(2(n − 2)) . . . (2)I 1 = 2
n−1 (n − 1)!I 1 .
Comme I 1 =
−2 e
−
x
2
+∞
0
= 2, on obtient
I n = 2
n (n − 1)!.
b. La fonction f n est positive, continue sur R, sauf en 0 et d’après (a), son intégrale
converge et
+∞
−∞
f n (x) dx =
+∞
0
f n (x) dx =
1
(n − 1)!2 n I n = 1.
La fonction f n est bien une densité.
2. La variable X n possède une espérance sous réserve d’absolue convergence de
+∞
−∞
xf n (x) dx =
+∞
0
xf n (x) dx =
1
(n − 1)!2 n
+∞
0
x
n e
−
x
2 dx.
On reconnaît dans cette intégrale I n+1 . Donc elle converge (absolument car la fonction est
positive). Ainsi possède une espérance et
E(X n ) =
1
(n − 1)!2 n I n+1 =
I n+1
I n
= 2n.
On montre de même que X n possède un moment d’ordre 2 et
E(X
2
n ) =
I n+2
I n
= 2(n + 1) · 2n = 4n(n + 1).
Ainsi X n possède une variance et V (X n ) = 4n(n + 1) − 4n
2 = 4n.
3. a. Il s’agit simplement de la formule de Taylor à l’ordre n appliquée à la fonction exp
entre 0 et l.
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