© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
Nous allons comparer S n à
n
0
tf (t) dt. On a, pour tout k ∈ N
∗ et t ∈ [k, k + 1],
kf (t) tf (t) (k + 1)f (t). On en déduit
k
k+1
k
f (t) dt
k+1
k
tf (t) dt (k + 1)
k+1
k
f (t) dt,
soit
k(F(k + 1) − F(k)
k+1
k
tf (t) dt (k + 1)(F(k + 1) − F(k).
En additionnant ces inégalités, pour k variant de 0 à n, on obtient
S n g(n + 1)
n+1
0
f (t) dt
n
k=0
(k + 1)
F(k + 1) − F(k)
.
On a
n
k=0
(k + 1)
F(k + 1) − F(k)
= S n +
n
k=0
(F(k + 1) − F(k) = S n + F(n + 1) − F(0)
= S n + F(n + 1) S n + 1.
On obtient finalement
S n g(n + 1) S n + 1.
• Si E(X) existe, la fonction g est majorée par M et on a, pour tout n ∈ N
∗ ,
S n g(n + 1) M.
Donc E(Y ) existe.
• Réciproquement si E(Y ) existe, la suite (S n ) est majorée par M. On a, pour tout
n ∈ N
∗ , g(n + 1) S n + 1 M + 1. Soit x ∈ R + . Il existe n ∈ N
∗ tel que x n + 1
(on peut prendre n = x). On a alors, puisque la fonction qu’on intègre est positive,
g(x) g(n + 1) M. La fonction g est majorée donc X possède une espérance.
2. a. D’après ce qui précède, on a X(V) ⊂ N et, pour tout k ∈ N,
P([Y = k]) = F(k + 1) − F(k) = 1 − e
−l(k+1)
− 1 + e
−lk
= e
−lk
1 − e
−l
=
e
−l
k
1 − e
−l
.
La variable Y suit une loi géométrique à valeurs dans N de paramètre p = 1 − e
−l . On
a donc
E(Y ) =
q
p
=
e
−l
1 − e −l et V (Y ) =
q
p 2 =
e
−l
(1 − e −l ) 2 ·
b. On a Z(V) = [0, 1[.
573