Chapitre 10 – Variables aléatoires à densité
b. Supposons m E(X). On a alors, pour tout t ∈ [0, m],
E(X) − t E(X) − m 0 et donc
E(X) − t
2 (E(X) − m)
2 .
En utilisant la première inégalité de la question précédente et la positivité de l’intégrale,
on obtient
V (X)
m
0
E(X) − m)
2 f (t) dt
E(X) − m)
2
m
0
f (t) dt.
Comme
m
0
f (t) dt = F(m) =
1
2
, on obtient en multipliant par 2,
2V (X)
E(X) − m
2 puis
2V (X) |E(X) − m|,
en prenant la racine carrée.
Si m > E(X), on utilise l’autre inégalité. Pour tout t m, on a
t − E(X) m − E(X) > 0 et donc
t − E(X)
2
m − E(X)
2 .
On en déduit
V (X)
+∞
m
(m − E(X))
2 f (t) dt
m − E(X)
2
+∞
m
f (t) dt.
Comme
+∞
m
f (t) dt = 1 − F(m) =
1
2
, on conclut comme dans le premier cas,
2V (X)
m − E(X)
2 , puis
√
2V (X) |E(X) − m|.
10.
1. a. La variable X étant à valeurs positives, sa partie entière Y est à valeurs dans
N. Pour tout k ∈ N, [Y = k] = [k X < k + 1] est un événement, donc Y est une
variable aléatoire discrète. On a, pour tout k ∈ N, puisque X est une variable à densité
P([Y = k]) = P([k X < k + 1]) = P([k < X k + 1]) = F(k + 1) − F(k).
b. La variable aléatoire Y possède une espérance si et seulement si la série de terme général
positif k(F(k + 1) − F(k) converge, c’est-à-dire si et seulement si ses sommes partielles
S n =
n
k=1
k(F(k + 1) − F(k)) sont majorées.
La variable X possède une espérance si et seulement si l’intégrale
+∞
0
tf (t) dt
converge. Comme la fonction qu’on intègre est positive, cela équivaut à : la fonction
g : x −→
x
0
tf (t) dt est majorée sur R + .
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