© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
b. Pour r ∈ N, la variable X n possède un moment d’ordre r si
+∞
−∞
t
r f Xn (t) dt, c’est-à-dire
si
+∞
0
at
r e
−at (at)
n−1
(n − 1)!
dt converge. La fonction t −→ t
r e
−at (at)
n−1
(n − 1)!
est continue sur
R + , positive et, par croissances comparées, négligeable devant
1
t 2 au voisinage de +∞.
Donc l’intégrale converge et X n possède un moment d’ordre r pour tout entier naturel
r. On a
E(X
r
n ) =
+∞
0
at
r e
−at (at)
n−1
(n − 1)!
dt =
a
n
(n − 1)!
+∞
0
t
n+r−1 e
−at dt.
On a, pour tout entier n ∈ N
∗ ,
+∞
0
f n (t) =
a
n
(n − 1)!
+∞
0
t
n−1 e
−at dt = 1,
donc
+∞
0
t
n−1 e
−at dt =
(n − 1)!
a n · Comme c’est vrai pour tout entier naturel non nul,
on a
+∞
0
t
n+r−1 e
−at dt =
(n + r − 1)!
a n+r
et
E(X
r
n ) =
a
n
(n − 1)!
(n + r − 1)!
a n+r
=
(n + r − 1)!
(n − 1)!a r ·
On en déduit E(X n ) =
n
a
et E(X
2 ) =
(n + 1)n
a 2 , d’où l’on déduit
V (X n ) = E(X
2
n ) −
E(X n )
2 =
(n + 1)n
a 2 −
n
2
a 2 =
n
a 2 ·
8.
1. Notons que F est continue sur R + , dérivable sur R
∗
+ (f est continue sur R
∗
+ ) et,
pour tout élément t de R
∗
+ , F
(t) = f (t) > 0. Donc F est strictement croissante sur R + .
Comme lim
t→∞
F(t) = 1, on a pour tout t 0, F(t) < 1 et par conséquent P([T > t]) > 0.
Cela justifie l’existence de P([t < T t + u]/[T > t]) pour t et u strictement positifs. On
a alors
P([t < T t + u]/[T > t])
u
=
P([t < T t + u])
uP([T > t])
=
F(t + u) − F(t)
u(1 − F(t))
La fonction F est dérivable en t et F
(t) = f (t) donc lim
u→0
F(t + u) − F(t)
u
= f (t). On en
déduit que, pour tout t > 0,
h(t) =
f (t)
1 − F(t)
·
2. La fonction h est définie et continue sur ]0, +∞[. Soit t > 0 et ´ ∈ ]0, t[. Comme F
= f ,
on a
t
´
h(u) du =
t
´
f (u)
1 − F(t)
du = [− ln(1 − F(u))]
t
´ .
567