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SOLUTIONS
Solutions
Les fonctions f Z et f T sont nulles en dehors de [0, 1] et continues sur [0, 1] donc les variables
Z et T possèdent des moments de tout ordre. En particulier
E(Z) =
1
0
2x
2 dx =
2
3
, E(T ) =
1
0
(2x − 2x
2 ) dx =
x
2
−
2x
3
3
1
0
=
1
3
,
E(Z
2 ) =
1
0
2x
3 dx =
1
2
, E(T
2 ) =
1
0
(2x
2
− 2x
3 ) dx =
2x
3
3
−
x
4
2
1
0
=
1
6
·
On en déduit
V (Z) = E(Z
2 ) −
E(Z)
2 =
1
18
et V (T ) = E(T
2 ) −
E(T )
2 =
1
18
·
4. Les densités et fonctions de répartition de X et Y sont nulles sur R
∗
− . Il en est de même
pour Z et T. Pour x 0, f X (x) = le
−lx , f Y (x) = me
−mx , F X (x) = 1 − e
−lx et
F Y (x) = 1 − e
−mx . On en déduit
F T (x) = 1 − e
−lx e
−mx = 1 − e
−(l+m)x .
La variable T suit une loi exponentielle de paramètre l + m. On en déduit que
E(T ) =
1
l + m
et V (T ) =
1
(l + m) 2 .
Pour Z, on obtient
f Z (x) = le
−lx (1 − e
−mx ) + (1 − e
−lx )me
−mx = le
−lx + me
−mx
− (l + m)e
−(l+m)x .
La variable Z possède un moment d’ordre 1 car
+∞
−∞
xf Z (x) dx converge. En effet, on a
xf Z (x) = xf X (x) + xf Y (x) − xf T (x). On a une somme d’intégrales absolument convergentes
car X,Y et Z possèdent une espérance. On obtient
E(Z) = E(X) + E(Y ) − E(T ) =
1
l
+
1
m
−
1
l + m
·
On trouve de même que Z possède un moment d’ordre 2 et que
E(Z
2 ) = E(X
2 ) + E(Y
2 ) − E(T
2 ).
On a E(X
2 ) = V (X) +
E(X)
2 =
2
l 2 et le même résultat pour les deux autres variables.
On obtient
E(Z
2 ) =
2
l 2 +
2
m 2 −
2
(l + m) 2 ,
puis
V (T) = E(T
2 ) −
E(T)
2 =
2
l 2 +
2
m 2 −
2
(l + m) 2 −
1
l
+
1
m
−
1
l + m
2
.
7.
1. Pour t > 0, l’événement [X 1 > t] est réalisé s’il n’est arrivé aucun voyageur entre
les instants 0 et t. On a donc [X 1 > t] = [N t = 0]. Pour t 0, [X 1 > t] = V, car on ne
compte que les voyageurs qui arrivent à partir de l’instant 0. Cela montre que, pour tout
réel t, [X > t 1 ] est un événement donc son complémentaire [X t 1 ] aussi. Par définition,
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