Chapitre 10 – Variables aléatoires à densité
Autrement dit,
Q(x) ∼
x→+∞
1
x
√
2p
e
−
x 2
2 .
3. Soit ´ > 0. Quand a tend vers +∞, a + ´ tend aussi vers +∞. On a, d’après la question
précédente
p(a, ´) =
Q X (a + ´)
Q X (a)
) ∼
a→+∞
1
(a+´)
√
2p
e
−
(a+´) 2
2
1
a
√
2p
e −
a 2
2
∼
a→+∞
a
a + ´
e
−´ 2 −´a
2
.
De lim
a→+∞
a
a + ´
= 1 et lim
a→+∞
e
−´ 2 −´a
2
= 0, on déduit
lim
a→+∞
p(a, ´) = 0.
4. On a, pour (a, ´) ∈ ]0, +∞[
2 ,
P([a < X < a + ´])
P([a < X])
=
P([a < X]) − P([a + ´ X])
P([a < X]
=
Q(a) − Q(a + ´)
Q(a)
= 1−p(a, ´).
De la question précédente, on déduit
lim
a→+∞
P([a < X < a + ´])
P([a < X])
= lim
a→+∞
(1 − p(a, ´)) = 1,
c’est-à-dire
P([a < X < a + ´]) ∼
a→+∞
P([a < X]).
6.
1. On a, pour tout réel x,
F Z (x) = P([Z x]) = P([X x] ∩ [Y x])
= P([X x])P([Y x]) = F X (x)F Y (x).
Pour T , on passe par l’événement contraire
F T (x) = 1 − P([T > x]) = 1 − P([X > x] ∩ [Y > x])
= 1 − P([X > x])P([Y > x]) = 1 − (1 − F X (x))(1 − F Y (x)).
2. Les fonctions F X et F Y sont continues sur R et de classe C
1 sauf en un nombre fini de
points. Il en est de même de F Z et F T . Donc Z et T admettent une densité qui s’obtient
en dérivant F X et F Y sauf en un nombre fini de points où le choix est arbitraire. On
obtient, pour tout réel x,
f Z (x) = f X (x)F Y (x) + F X (x)f Y (x)
f T (x) = f X (x)(1 − F Y (x)) + (1 − F X (x)f Y (x).
3. Si x ∈ [0, 1], f X (x) = f Y (x) = 0 donc f Z (x) = f T (x) = 0.
Si x ∈ [0, 1], F X (x) = F Y (x) = x et f X (x) = f Y (x) = 1 donc
f Z (x) = 2x et f T (x) = 2 − 2x.
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