© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
On intègre de nouveau par parties
+∞
x
1
t 2
√
2p
e
−
t 2
2 dt. On écrit, pour t > 0,
1
t 2
√
2p
e
−
t 2
2 =
−1
t 3
√
2p
(−te
−
t 2
2 )
et on pose
u(t) =
−1
t 3
√
2p
, u
(t) =
3
t 4
√
2p
, v(t) = e
−
t 2
2 , v
(t) = −te
−
t 2
2 .
Les fonctions u et v sont de classe C
1 sur R
∗
+ et donc, pour a > x,
a
x
1
t 2
√
2p
e
−
t 2
2 dt =
a
x
u(t)v
(t) dt = [u(t)v(t)]
a
x −
a
x
u
(t)v(t) dt
=
−1
a 3
√
2p
e
−
a 2
2 +
1
x 3
√
2p
e
−
x 2
2 −
a
x
3
t 4
√
2p
e
−
t 2
2 dt.
L’ intégrale
+∞
x
3
t 4
√
2p
e
−
t 2
2 dtconverge car en +∞,
3
t 4
√
2p
e
−
t 2
2 est négligeable devant
1
t 4 et , par croissances comparées, lim
a→+∞
−1
a 3
√
2p
e
−
a 2
2 = 0, donc en faisant tendre a vers
+∞, on obtient
+∞
x
1
t 2
√
2p
e
−
t 2
2 dt =
1
x 3
√
2p
e
−
x 2
2 −
+∞
x
3
t 4
√
2p
e
−
t 2
2 dt
et donc
Q(x) =
1
x
√
2p
e
−
x 2
2 −
1
x 3
√
2p
e
−
x 2
2 +
+∞
x
3
t 4
√
2p
e
−
t 2
2 dt,
et comme la dernière intégrale est positive, on en déduit
Q(x)
1
x
√
2p
e
−
x 2
2 −
1
x 3
√
2p
e
−
x 2
2 .
2. De l’encadrement, valable pour x > 0,
1
x
√
2p
e
−
x 2
2 −
1
x 3
√
2p
e
−
x 2
2 Q(x)
1
x
√
2p
e
−
x 2
2 ,
on déduit
1
Q(x)
1
x
√
2p
e −
x 2
2
1 −
1
x 2 ·
On a lim
x→+∞
1 −
1
x 2
= 1, donc par encadrement
lim
x→+∞
Q(x)
1
x
√
2p
e −
x 2
2
= 1.
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