Chapitre 10 – Variables aléatoires à densité
On obtient, d’après la question 1 (b),
F Y (x) = 1 −
1
g x
a
= 1 − g
−ax = 1 − e
a ln gx .
On note que l = a ln g > 0. La variable Y suit donc la loi exponentielle de paramètre
l.
Ainsi une variable Z suit une loi de Pareto de paramètre (a, a) si, et seulement si, il
existe g > 1 tel que Z = ag
Y , où Y suit une loi exponentielle de paramètre a ln g.
c. D’après la question précédente, on peut écrire Z = ag
Y , où g > 1 et Y suit la loi
exponentielle de paramètre l = a ln g. On a alors
Z
c = a
c g
cY = a
c (g
c )
Y .
De la question a, on déduit que Z
c suit la loi de Pareto de paramètre
l
ln g c , a
c
=
a
c
, a
c
.
5.
1. On fixe x > 0. On a
Q(x) = P([X > x])
+∞
x
1
√
2p
e
−
t 2
2 dt.
On écrit, pour t > 0,
1
√
2p
e
−
t 2
2 =
−1
t
√
2p
(−te
−
t 2
2 ) et on intègre par parties, en posant
u(t) =
−1
t
√
2p
, u
(t) =
1
t 2
√
2p
, v(t) = e
−
t 2
2 , v
(t) = −te
−
t 2
2 .
Les fonctions u et v sont de classe C
1 sur R
∗
+ et donc, pour a > x,
a
x
1
√
2p
e
−
t 2
2 dt =
a
x
u(t)v
(t) dt = [u(t)v(t)]
a
x −
a
x
u
(t)v(t) dt
=
−1
a
√
2p
e
−
a 2
2 +
1
x
√
2p
e
−
x 2
2 −
a
x
1
t 2
√
2p
e
−
t 2
2 dt.
L’ intégrale
+∞
x
1
t 2
√
2p
e
−
t 2
2 dt converge car en +∞,
1
t 2
√
2p
e
−
t 2
2 est négligeable devant
1
t 2 et , par croissances comparées, lim
a→+∞
−1
a
√
2p
e
−
a 2
2 = 0, donc en faisant tendre a vers
+∞, on obtient
Q(x) =
1
x
√
2p
e
−
x 2
2 −
+∞
x
1
t 2
√
2p
e
−
t 2
2 dt.
Cette dernière intégrale est positive, car c’est l’intégrale d’une fonction positive, donc
Q(x)
1
x
√
2p
e
−
x 2
2 .
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