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SOLUTIONS
Solutions
d. De même, X possède un moment d’ordre 2 et donc une variance si, et seulement si,
+∞
a
a
a
a
t a−1 dt converge, ce qui nécessite a − 1 > 1 et donc a > 2. Si cette condition
est réalisé, on a, pour x > a,
x
a
a
a
a
t a−1 dt =
−
a
a − 2
a
a
t a−2
x
a
= −
a
a − 2
a
a
x a−2 +
aa
2
a − 2
·
On obtient, en faisant tendre x vers +∞,
E(X
2 ) =
aa
2
a − 2
·
On a alors,
V (X) = E(X
2 ) −
E(X)
2 =
aa
2
a − 2
−
aa
a − 1
2
=
aa
2
(a − 1) 2 (a − 2)
·
2. a. Notons F Y et F Z les fonctions de répartition de Y et Z. La variable Y est à valeurs
dans ]0, +∞[. Comme g > 1, l’application x −→ bg
x réalise une bijection croissante
de ]0, +∞[ sur ]b, +∞[. On a donc F Z (x) = 0 si x b. Pour x > b, on obtient
F Z (x) = P([Z x]) = P
bg
Y
x
= P
g
Y
x
b
= P
Y ln g ln
x
b
= P
Y
ln
x
b
ln g
= F Y
ln
x
b
ln g
,
car ln g > 0. Comme
ln
x
b
ln g
> 0, on a, par définition de la loi exponentielle,
F Z (x) = 1 − exp
−l
ln
x
b
ln g
= 1 − exp
−l
ln g
ln
x
b
= 1 −
x
b
−l
ln g
= 1 −
b
x
l
ln g
.
On note que
l
ln g
> 0. D’après la question F Z est la fonction de répartition d’une
variable aléatoire qui suit la loi de Pareto de paramètre
l
ln g
, b
. On conclut que Z
suit la loi de Pareto de paramètre
l
ln g
, b
.
b. Supposons réciproquement que Z suit la loi de Pareto de paramètre (a, a). Considérons
g > 1 et la variable aléatoire Y définie par Z = ag
Y , c’est-à-dire Y =
ln Z − ln a
ln g
·
Cette définition a un sens car Z est à valeurs dans ]a, +∞[⊂]0, +∞[. De plus, l’application x −→
ln x − ln a
ln g
réalise une bijection de ]a, +∞[ sur ]0, +∞[, donc Y est à
valeurs dans ]0, +∞[. On a donc F Y (x) = 0 si x 0 et si x > 0,
F Y (x) = P([Y x]) = P
ln Z − ln a
ln g
x
= P
ln
Z
a
ln g
x
.
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