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SOLUTIONS
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Par ailleurs, on a, par linéarité de l’intégrale,
B(a, b + 1) + B(a + 1, b) =
1
0
t
a (1 − t)
b−1 dt +
1
0
t
a−1 (1 − t)
b dt
=
1
0
t
a (1 − t)
b−1 + t
a−1 (1 − t)
b
dt
=
1
0
t
a−1 (1 − t)
b−1 (t + 1 − t) dt
= B(a, b).
On en déduit
bB(a + 1, b) = aB(a, b + 1) = a(B(a, b) − B(a + 1, b))
et donc
B(a + 1, b) =
a
a + b
B(a, b).
2. a. La fonction f est positive ou nulle et continue sauf éventuellement en 0 et 1. D’après
la première question,
1
0
f (x) dx converge et
1
0
f (x) dx =
1
B(a, b)
1
0
x
a−1 (1 − x)
b−1 dx =
B(a, b)
B(a, b)
= 1.
Comme f est nulle hors de [0, 1],
+∞
−∞
f (x) dx converge et
+∞
−∞
f (x) dx =
1
0
f (x) dx = 1.
La fonction f est donc une densité de probabilité.
b. Pour tout n ∈ N, le moment d’ordre n de X est donné si l’intégrale converge par
1
0
x
n
1
B(a, b)
x
a−1 (1 − x)
b−1 dx =
1
0
1
B(a, b)
x
a+n−1 (1 − x)
b−1 dx. On sait que
1
0
x
a+n−1 (1 − x)
b−1 dx = B(a + n, b) converge d’après la première question car
a + n a > 0. Donc X possède un moment d’ordre n donné par
E(X
n ) =
B(a + n, b)
B(a, b)
·
On a en particulier
E(X) =
B(a + 1, b)
B(a, b)
=
a
a + b
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