Chapitre 10 – Variables aléatoires à densité
De même, on a, sous réserve de convergence
E(Z
2 ) = E(e
2Y ) =
+∞
−∞
e
2t
1
√
2ps
e
−
(t−m) 2
2s 2
dt.
On écrit de même,
2t −
(t − m)
2
2s 2 = −
1
2s 2
t
2
− 2(m + 2s
2 ) + m
2
= −
1
2s 2
t − (m + 2s
2 )
2 − (4s
4 + 4ms
2 )
= −
1
2s 2
t − (m + 2s
2 )
2 + 2s
2 + 2m.
On en déduit la convergence de l’intégrale et l’égalité
E(Z
2 ) =
1
√
2ps
+∞
−∞
e
−
(t−(m+2s 2 ) 2 )
2s 2
e
2s
2 +2m dt = e
2s
2 +2m .
On obtient enfin
V (Z) = E(Z
2 ) −
E(Z)
2 = e
2s
2 +2m
− e
s
2 +2m = (e
s
2 − 1)e
s
2 +2m .
3.
1. a. La fonction w : t −→ t
a−1 (1 − t)
b−1 est continue au moins sur ]0, 1[ et
positive. En 0, on a w(t) ∼ t
a−1 et
1
2
0
t
a−1 dt =
1
2
0
1
t 1−a dt converge si et seulement
si 1 − a < 1, c’est-à-dire a > 0. D’après le théorème de comparaison des intégrales
des fonctions positives,
1
2
0
w(t) dt converge si et seulement si a > 0. On a de même
en 1, w(t) ∼ (1 − t)
b−1 et comme
1
1
2
(1 − t)
b−1 dt =
1
1
2
1
(1 − t) 1−b dt converge si et
seulement si 1 − b < 1, c’est-à-dire b > 0, il en est de même de
1
1
2
w(t) dt.
Finalement B(a, b) converge si et seulement si a et b sont strictement positifs.
b. Comme a > 0 et b > 0, a fortiori a + 1 > 0 et b + 1 > 0 donc toutes les intégrales
convergent.
On a bB(a + 1, b) =
1
0
t
a b(1 − t)
b−1 dt. On intègre par parties, en intégrant
t −→ b(1 − t)
b−1 et en dérivant t −→ t
a . Les différentes fonctions puissances sont de
classe C
1 sur ]0, 1[. On a donc, pour 0 < a < b < 1,
b
a
t
a b(1 − t)
b−1 dt =
t
a (−(1 − t)
b )
b
a
+
b
a
at
a−1 (1 − t)
b dt.
Comme lim
t→0
t
a = 0 et lim
t→1
(1 − t)
b = 0, on obtient, en faisant tendre a vers 0 et b vers 1,
bB(a + 1, b) = aB(a, b + 1).
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