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SOLUTIONS
Solutions
Chapitre 10
1.
1. a. La variable Y est à valeurs dans R + donc sa fonction de répartition est nulle
sur R
∗
− . Pour x 0, on a
F Y (x) = P([
√
X x]) = P([X x
2 ]) = 1 − e
−lx
2
.
La fonction F Y est continue sur R (on vérifie que sa limite à droite en 0 est 0) et
dérivable sauf en 0. Ainsi possède une densité définie par
f Y (x) =
0
s ix < 0
2lxe
−lx
2
si x 0.
b. Comme Y est une variable aléatoire positive, son espérance est donnée, sous réserve
de convergence, par
+∞
0
xf Y (x) dx. La fonction x −→ xf Y (x) est continue et positive
sur R + et négligeable en +∞ devant
1
x 2 (grâce à l’exponentielle). Donc E(Y ) existe.
Pour la calculer, on se ramène à la densité de la loi normale centrée réduite en posant
lx
2 =
1
2
t
2 , soit x =
t
√
2l
. On obtient
E(X) =
+∞
0
2lx
2 e
−lx
2
dx =
1
√
2l
+∞
0
t
2 e
−
1
2 t
2
dt
=
1
2
√
2l
+∞
−∞
t
2 e
−
1
2 t
2
dt =
√
p
2
√
l
+∞
−∞
1
√
2p
t
2 e
−
1
2 t
2
dt.
On reconnaît dans l’intégrale le moment d’ordre 2 d’une variable normale centrée
réduite qui vaut 1. On a donc E(Y ) =
√
p
2
√
l
·
D’autre part, on a E(Y
2 ) = E(X) =
1
l
· On en déduit
V (Y ) = E(Y
2 ) −
E(Y )
2 =
1
l
−
p
4l
=
4 − p
4l
·
2. Les variables X
2 et X
3 sont à valeurs dans R + . Leurs fonctions de répartition sont nulles
sur R
∗
− .
a. Pour tout x 0, P([X
2
x]) = P([X
√
x]) = 1 − e
−l
√
x . La fonction de répartition
de X
2 est continue sur R (on vérifie que la limite à droite en 0 est 0) et de classe C
1
sur R
∗ . Donc X
2 possède une densité g qui s’obtient en dérivant cette fonction de
répartition. On obtient
g(x) =
⎧
⎨
⎩
l
2
√
x
e
−l
√
x
si x > 0
0
s ix 0.
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