Chapitre 10 – Variables aléatoires à densité
b. Pour tout x 0, P([X
3
x]) = P([X x
1
3 ]) = 1 − e
−lx
1
3 . La fonction de répartition
de X
3 est continue sur R (on vérifie que la limite à droite en 0 est 0) et de classe C
1
sur R
∗ . Donc X
3 possède donc une densité h qui s’obtient en dérivant cette fonction
de répartition. On obtient
h(x) =
⎧
⎨
⎩
l
3
x
−
2
3 e
−lx
1/3
si x > 0
0
s ix 0.
2.
1. a. La fonction f est continue sur R sauf en 0 et positive. Il faut montrer que
+∞
−∞
f (x) dx =
+∞
0
1
x
√
2p
e
−
1
2 (ln x−1)
2
dx
converge et vaut 1. On fait le changement de variable défini par ln x = y + 1 ou
x = e
y+1 . On obtient, pour 0 < a < b,
b
a
1
x
√
2p
e
−
1
2 (ln x−1)
2
dx =
ln b−1
ln a−1
1
e y+1
√
2p
e
−
1
2 y
2
e
y+1 dy =
ln b−1
ln a−1
1
√
2p
e
−
1
2 y
2
dy.
Quand a tend vers 0 et b vers +∞, ln a − 1 et ln b − 1 tendent respectivement vers
−∞ et +∞ et la dernière intégrale tend vers
+∞
−∞
1
√
2p
e
−
1
2 y
2
dy = 1. En effet, on
reconnaît l’intégrale sur R de la densité de la normale centrée réduite. On a donc
+∞
0
1
x
√
2p
e
−
1
2 (ln x−1)
2
dx = 1.
La fonction f est bien une densité de probabilité.
Si x > 0, on a d’après ce qui précède
F(x) =
x
0
1
t
√
2p
e
−
1
2 (ln t−1)
2
dt =
− ln x−1
−∞
1
√
2p
e
−
1
2 y
2
dy = f(ln x − 1).
b. Le même changement de variable montre que
E(X) =
+∞
0
x
1
x
√
2p
e
−
1
2 (ln x−1)
2
dx =
+∞
0
1
√
2p
e
−
1
2 (ln x−1)
2
dx
=
1
√
2p
+∞
−∞
e
−
1
2 y
2
e
y+1 dy
=
1
√
2p
+∞
−∞
e
−
1
2 (y−1)
2
e
3
2 dy = e
3
2 ,
car on reconnaît la densité d’une variable aléatoire qui suit N (1, 1).
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