Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires discrètes
2. La loi de X s’obtient en écrivant P([X = k]) =
+∞
n=1
P([N = n] ∩ [X = k]). Pour tout entier
k non nul,
P([X = k]) =
+∞
n=k
n
k
p
k+1 (1 − p)
2n−k−1 =
p
q
k+1 +∞
n=k
n
k
q
2
n
=
p
q
k+1
q
2k
(1 − q 2 ) k+1 ,
d’après l’égalité donnée dans l’énoncé. On note que 1 − q
2 = p(1 + q). On obtient
P([X = k]) =
q
k−1
(1 + q) k+1 ·
Si k = 0, la somme commence à 1 et pas à k. On obtient
P([X = 0]) =
+∞
n=1
pq
2n−1 = pq
+∞
n=1
(q
2 )
n−1 =
pq
1 − q 2 =
q
1 + q
·
3. On considère une variable aléatoire Y qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p
et
une variable aléatoire Z qui suit une loi géométrique de paramètre p
. On suppose Y et Z
indépendantes et l’on pose W = YZ. On a alors W (V) = N.
Si k = 0, alors P([W = 0]) = P([Y = 0]) = 1 − p
, car YZ = 0 équivaut à Y = 0.
Si k 1, alors [YZ = k] = [Y = 1] ∩ [Z = k] et par indépendance des variables aléatoires
Y et Z,
P([W = k]) = P([Y = 1] ∩ [Z = 1]) = P([Y = 1])P([Z = k]) = p
2 (1 − p
)
k−1 .
On voit qu’en posant en posant p
=
1
1 + q
, X et W ont même loi.
Ainsi X a la même loi qu’un produit de deux variables indépendantes, l’une étant une
variable aléatoire de Bernoulli et l’autre une variable aléatoire géométrique de même paramètre
1
1 + q
·
4. Comme Y et Z sont indépendantes, E(X) = E(Y )E(Z) = 1.
Comme Y
2 et Z
2 sont indépendantes, E(X
2 ) = E(Y
2 )E(Z
2 ). On a
E(Y
2 ) = p
et E(Z
2 ) = V (Z) +
E(Z)
2 =
1 − p
p 2 +
1
p 2 =
2 − p
p 2 .
On en déduit E(X
2 ) =
2 − p
p et V (X) =
2 − p
p − 1 = 2q.
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