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SOLUTIONS
Solutions
2. La variable X + Y est à valeurs dans Z. Pour tout k ∈ Z, on a, puisque
[Y = i]) i∈Z est un
système complet d’événements,
P([X + Y = k] =
i∈Z
P([X + Y = k] ∩ [Y = i]) =
i∈Z
P([X = k − i] ∩ [Y = i])
=
i∈Z
P([X = k − i])P([Y = i]),
car le variables X et Y sont indépendantes. On en déduit
P([X + Y = −k] =
i∈Z
P([X = −k − i])P([Y = i]).
Comme les variables sont symétriques, on a P([X = −k − i]) = P([X = k + i]) et
P([Y = i]) = P([Y = −i]) d’où l’on déduit
P([X + Y = −k] =
i∈Z
P([X = k + i])P([Y = −i]).
On fait enfin le changement d’indice j = −i qui donne
P([X + Y = −k] =
J∈Z
P([X = k − j])P([Y = j]) = P([X + Y = k]).
La variable X + Y est symétrique.
3. On démontre la propriété par récurrence sur n. Elle est évidente pour n = 1 et a été
démontrée pour deux variables aléatoires dans la question précédente. On suppose qu’elle
est vraie au rang n et on la démontre pour n + 1 variables symétriques, X 1 , . . . , X n , X n+1
indépendantes. Les variables X 1 , . . . , X n sont indépendantes et symétriques donc
X 1 + · · · + X n est symétrique par hypothèse de récurrence. D’autre part, d’après le lemme
des coalitions, les variables X 1 + · · · + X n et X n+1 sont indépendantes. Comme elles
sont symétriques, leur somme X 1 + · · · + X n + X n+1 est symétrique et la récurrence est
terminée.
12.
1. On pose q = 1 − p. On a N(V) = N
∗ et X(V) = N. La variable N suit la loi
géométrique de paramètre p et pour tout n ∈ N
∗ , la loi de X conditionnelle à [N = n] est
la loi binomiale de paramètre (n, p).
Pour tout couple (n, k) ∈ N
∗
× N, par définition de la probabilité conditionnelle,
P([N = n] ∩ [X = k]) = P [N=n] ([X = k])P([N = n]).
Si k > n, P([N = n] ∩ [X = k]) = 0 et si k n,
P([N = n] ∩ [X = k]) =
n
k
p
k q
n−k pq
n−1
=
n
k
p
k+1 q
2n−k−1 .
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