Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires discrètes
ce qui donne
b k =
2m
m
m
k
2
1
4
2m
.
Comme k peut prendre une valeur quelconque entre 0 et m, on obtient
a 2m =
2m
k=0
b k =
2m
m
1
4
2m m
k=0
m
k
2
.
On utilise la formule de Vandermonde pour simplifier le somme
m
k=0
m
k
2
=
m
k=0
m
k
m
m − k
=
2m
m
.
Finalement, on obtient
a 2m =
2m
m
2
4 2m ·
11.
1. La variable X − Y est à valeurs dans Z. Pour tout k ∈ Z, on a, puisque
[Y = i]) i∈Z est un système complet d’événements,
P([X − Y = k] =
i∈Z
P([X − Y = k] ∩ [Y = i]) =
i∈Z
P([X = i + k] ∩ [Y = i])
=
i∈Z
P([X = i + k])P([Y = i]),
car le variables X et Y sont indépendantes. On en déduit que
P([X − Y = −k] =
i∈Z
P([X = i − k])P([Y = i]).
Avec le changement d’indice j = i − k, on obtient
P([X − Y = −k] =
i∈Z
P([X = j])P([Y = j + k]).
Les variables X et Y ont même loi donc
P([X = j]) = P([Y = j]) et P([Y = j + k]) = P([X = j + k]).
Finalement, on obtient
P([X − Y = −k] =
i∈Z
P([Y = j])P([X = j + k]) = P([X − Y = k]).
La variable X − Y est symétrique.
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