Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires discrètes
et pour tout j ∈ N
∗ ,
P([Z = j]) =
+∞
i=1
P([Y = i] ∩ [Z = j]) = q
j
+∞
i=1
p
i+1 + p
j
+∞
j=1
q
i+1
= q
j p
2
1 − p
+ p
j q
2
1 − q
= p
2 q
j−1 + q
2 p
j−1 .
Si Y et Z ont même loi, on a P([Y = 1]) = P([Z = 1]) soit 2pq = p
2 + q
2 , ce qui donne
(p − q)
2 = 0 et donc p = q =
1
2
·
Il est clair que réciproquement si p = q =
1
2
, on a, pour tout i ∈ N
∗ ,
P([Y = i]) = P([Z = i]) =
1
2
i
.
Les variables aléatoires Y et Z ont même loi.
2. On a, pour tout i ∈ N
∗ ,
iP([Y = i]) = ip
i q + iq
i p = p(ip
i−1 q) + q(iq
i−1 p).
La série de terme général ip
i−1 q converge et sa somme est l’espérance d’une loi géométrique
à valeurs dans N
∗ , de paramètre q, c’est-à-dire
1
q
· De même la série de terme général ip
i−1 q
converge et a pour somme
1
p
·
On en déduit que Y possède une espérance et
E(Y ) = p
+∞
i=1
ip
i−1 q) + q
+∞
i=1
iq
i−1 p =
p
q
+
q
p
·
De E(Y ) − 2 =
p
2 + q
2
− 2pq
pq
=
(p − q)
2
pq
0, on déduit que E(Y ) 2.
En écrivant de même
jP([Z = j]) = p(jq
j−1 p) + q(jp
j−1 q),
on trouve de même que Z a une espérance et que
E(Z) = p
+∞
j=1
jq
j−1 p + q
+∞
j=1
jp
j−1 q =
p
p
+
q
q
= 2.
On procède de même pour l’espérance de Y
2 et de Z
2 . On fait apparaître E(U
2 ) et E(V
2 ),
où U suit la loi géométrique de paramètre q et V suit une loi géométrique de paramètre
p. On a E(U
2 ) = V (U) +
E(U)
2 =
p
q 2 +
1
q 2 =
p + 1
q 2 et de même E(V
2 ) =
q + 1
p 2 ·
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