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SOLUTIONS
Solutions
b. Supposons réciproquement que les variables X − Y et Y sont indépendantes.
D’après la première question, on a
P([Y = n]) − P([Y = n + 1]) =
1
n + 1
P([X = n])
= P([Y = 0]/[X = n])P([X = n])
= P([X = n] ∩ [Y = 0]).
En faisant intervenir la variable X − Y qui a même loi que Y et est indépendante de
Y , on obtient
P([Y = n]) − P([Y = n + 1]) = P([X − Y = n] ∩ [Y = 0])
= P([X − Y = n])P([Y = 0])
= P([Y = n])P([Y = 0]).
Posons p = P([Y = 0]) ∈ [0, 1] et q = 1 − p. On a, pour tout n ∈ N,
P([Y = n + 1]) = (1 − p)P([Y = n]) = qP([Y = n])
et donc
P([Y = n]) = q
n p.
On note que p > 0 sinon, pour tout n ∈ N, P([Y = n]) = 0, ce qui est impossible car
∞
n=0
P([Y = n]) = 1. L’équivalence est démontrée.
9.
1. Les variables aléatoires Y et Z sont à valeurs dans N
∗ et, pour tout (i, j) ∈ N
∗2 ,
[Y = i] ∩ [Z = j] = [X 1 = . . . = X i , X i+1 = X i , X i+1 = . . . = X i+j , X i+j+1 = X i+j ]
= [X 1 = . . . = X i = 1, X i+1 = . . . = X i+j = 0, X i+j+1 = 1]
∪ [X 1 = . . . = X i = 0, X i+1 = . . . = X i+j = 1, X i+j+1 = 0].
Les variables X n étant indépendantes, on en déduit
P([Y = i] ∩ [Z = j]) = P([X 1 = . . . = X i = 1, X i+1 = . . . = X i+j = 0, X i+j+1 = 1])
+ P([X 1 = . . . = X i = 0, X i+1 = . . . = X i+j = 1, X i+j+1 = 0])
= p
i q
j p + q
i p
j q = p
i+1 q
j + q
i+1 p
j .
On obtient les lois marginales en sommant par rapport à une variable. On a, pour
tout i ∈ N
∗ ,
P([Y = i]) =
+∞
j=1
P([Y = i] ∩ [Z = j]) = p
i+1
+∞
j=1
q
j + q
i+1
+∞
j=1
p
j
= p
i+1
q
1 − q
+ q
i+1 p
1 − p
= p
i q + q
i p
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