Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires discrètes
On en déduit
P([Y = n]) =
+∞
k=n
1
k + 1
P([X = k]).
On obtient de même
P([Y = n + 1]) =
+∞
k=n+1
1
k + 1
P([X = k]).
En soustrayant, tous les termes se simplifient sauf un, et il vient
P([Y = n]) − P([Y = n + 1]) =
1
n + 1
P([X = n]),
ce qui est la relation voulue.
On opère de la même façon pour X − Y . La variable X − Y est à valeur dans N car X Y .
Pour tout n ∈ N,
P([X − Y = n]) =
+∞
k=0
P([X − Y = n]/[X = k])P([X = k])
=
+∞
k=0
P([Y = k − n]/[X = k])P([X = k])
=
+∞
k=n
1
k + 1
P([X = k]).
On a donc, pour tout n ∈ N,
P([X − Y = n]) = P([Y = n]).
Les variables X − Y et Y ont même loi et donc même espérance. Par linéarité de l’espérance, on obtient E(Y ) = E(X − Y ) = E(X) − E(Y ) et donc
E(Y ) =
E(X)
2
·
2. a. Supposons qu’il existe p ∈ ]0, 1] tel que, pour tout n ∈ N, P([Y = n]) = q
n p.
On a d’après la première question, pour tout n ∈ N,
P([X = n]) = (n + 1)(P([Y = n]) − P([Y = n + 1]))
= (n + 1)(pq
n
− pq
n+1 ) = (n + 1)pq
n (1 − q)
= (n + 1)p
2 q
n .
Pour tout (m, n) ∈ N
2 , on a
P([X − Y = m] ∩ [Y = n]) = P([X = m + n] ∩ [Y = n])
= P([Y = n]/[X = m + n])P([X = m + n])
=
1
m + n + 1
(m + n + 1)p
2 q
m+n
= p
2 q
m+n
Mais comme la loi de X − Y est la même que celle de Y , on a par ailleurs
P([X − Y = m])P([Y = n)] = pq
m pq
n = p
2 q
m+n = P([X − Y = m] ∩ [Y = n]).
Les variables X − Y et Y sont indépendantes.
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