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SOLUTIONS
Solutions
On a de même
[U = n] ∩ [V = 0] = [inf(X, Y ) = n] ∩ [X − Y = 0] = [X = n] ∩ [Y = n]
et donc
P([U = n] ∩ [V = 0]) = P([X = n] ∩ [Y = n]).
On a pour tout n ∈ N, P([X = n]) = 0 et P([Y = n]) = 0. On en déduit
P([X = n] ∩ [Y = n]) = P([X = n])P([Y = n]) = 0.
On peut donc diviser les deux égalités. On obtient
P
[X = n + 1] ∩ [Y = n]
P
[X = n] ∩ [Y = n]
=
P([U = n] ∩ [V = 1]
P
[U = n] ∩ [V = 0]
et en tenant compte de l’indépendance des variables X et Y d’une part, U et V de
l’autre
P([X = n + 1])P([Y = n])
P([X = n])P([Y = n])
=
P([U = n])P([V = 1])
P([U = n])P([V = 0])
= r,
c’est-à-dire P([X = n + 1]) = rP([X = n]).
b. La suite
P([X = n])
est géométrique de raison r et donc
P([X = n]) = P([X = 0])r
n
pour tout n ∈ N. On a P([X = 0]) > 0 et r > 0, car P([X = n]) > 0 pour tout n ∈ N.
La série de terme général P([X = n]) converge donc 0 < r < 1 et
+∞
n=0
P([X = n]) = P([X = 0])
+∞
n=0
r
n =
P([X = 0])
1 − r
= 1.
On a donc P([X = 0]) = 1 − r et, pour tout n ∈ N,
P([X = n]) = (1 − r)r
n .
La variable X et donc Y également suit la loi géométrique de paramètre 1 − r. L’indépendance des variables U et V caractérise donc la loi géométrique.
8.
1. On a, pour tout n ∈ N,
P([Y = n]) =
+∞
k=0
P([Y = n]/[X = k])P([X = k]).
Pour tout k ∈ N, la loi de Y conditionnelle à [X = k] est la loi uniforme sur [[0, k]]. On a
donc
P([Y = n]/[X = k]) =
⎧
⎨
⎩
1
k + 1
si 0 n k
0
s i n > k.
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