Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires discrètes
car si X Y , inf(X, Y ) = Y . On en déduit, par indépendance des variables X et Y ,
P([U = i] ∩ [V = j]) = P([X = i + j] ∩ [Y = i]) = P([X = i + j])P([Y = i])
= pq
i+j pq
i = p
2 q
2i+j .
Si j < 0, on obtient de même
[U = i] ∩ [V = j] = [X = i] ∩ [X − Y = j] = [X = i] ∩ [Y = i − j].
On en déduit
P([U = i] ∩ [V = j]) = P([X = i] ∩ [Y = i − j]) = P([X = i])P([Y = i − j])
= pq
i pq
i−j = p
2 q
2i−j .
On a donc, pour tout (i, j) ∈ N × Z,
P([U = i] ∩ [V = j]) = p
2 q
2i+|j| .
On obtient les lois marginales en sommant sur l’une des variables.
Pour tout i ∈ N,
P([U = i]) =
j∈Z
P([U = i]∩[V = j]) = 2
+∞
j=0
P([U = i]∩[V = j])−P([U = i]∩[V = 0]),
car la fonction j −→ P([U = i] ∩ [V = j]) est paire ; on enlève P([U = i] ∩ [V = 0]) qui
est compté deux fois. On obtient
P([U = i]) = 2
+∞
j=0
p
2 q
2i+|j|
− p
2 q
2i = 2p
2 q
2i
+∞
j=0
q
j
− p
2 q
2i =
2p
2 q
2i
1 − q
− p
2 q
2i = p(2 − p)q
2i .
Pour tout j ∈ Z,
P([V = j]) =
+∞
i=0
P([U = i] ∩ [V = j]) = p
2 q
|j|
+∞
i=0
(q
2 )
i =
p
2 q
|j|
1 − q 2 =
pq
|j|
1 + q
=
pq
|j|
2 − p
·
On vérifie que, pour tout (i, j) ∈ N × Z,
P([U = i])P([V = j]) = p(2 − p)q
2i pq
|j|
2 − p
= p
2 q
2i+|j| = P([U = i] ∩ [V = j]).
Le variables U et V sont donc indépendantes.
2. a. On a, pour tout n ∈ N,
[U = n] ∩ [V = 1] = [inf(X, Y ) = n] ∩ [X − Y = 1]
= [Y = n] ∩ [X − Y = 1] = [Y = n] ∩ [X = n + 1].
On en déduit
P([U = n] ∩ [V = 1]) = P([Y = n] ∩ [X = n + 1]).
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