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SOLUTIONS
Solutions
Fixons n ∈ N
∗ et posons l =
v n
v n−1
> 0. On a alors, pour tout m ∈ N,
u m+1
u m
= l,
donc la suite (u m ) est une suite géométrique de raison l. Cette raison ne dépend que
de la suite (u m ), elle est donc indépendant de n.
On a donc, pour tout n ∈ N
∗ ,
v n
v n−1
= l. La suite (v n ) est donc elle aussi géométrique
de raison l.
On obtient, pour tout (m, n) ∈ N
2 , u m = u 0 l
m et v n = v 0 l
n . On en déduit
(m + n)!P([N = m + n]) = u 0 v 0 l
m+n , c’est-à-dire
P([N = m + n]) =
u 0 v 0 l
m+n
(m + n)!
et donc, pour tout n ∈ N,
P([N = n]) =
u 0 v 0 l
n
n!
·
On calcule u 0 v 0 . On a
+∞
n=0
P([N = n]) = u 0 v 0
+∞
n=0
l
n
n!
= u 0 v 0 e
l = 1.
On a donc u 0 v 0 = e
−l et, pour tout n ∈ N,
P([N = n]) =
e
−l l
n
n!
·
La variable N suit une loi de Poisson.
6.
1. a. Soit k ∈ [[0, N]]. Pour tout i ∈ N , on a
P([X = x i ]/[T = k]) =
P([X = x i ] ∩ [T = k])
P([T = k])
P([X = x i ]
P([T = k])
et donc
|x i |P([X = x i ]/[T = k]) |x i |
P([X = x i ]
P([T = k])
·
La série de terme général |x i |P([X = x i ] converge puisque X admet une espérance,
donc la série de terme général |x i |
P([X = x i ]
P([T = k])
converge et aussi la série de terme général
|x i |P([X = x i ]/[T = k]) d’après le théorème de comparaison des séries à termes positifs.
D’où l’existence de E(X/[T = k]).
On a, d’après la formule des probabilités totales, pour tout i ∈ N,
x i P([X = x i ]) =
N
k=0
x i P([X = x i ]/[T = k])P([T = k]).
Pour tout k ∈ [[0, N]], la série de terme général x i P([X = x i ]/[T = k])
converge d’après ce qui précède et sa somme est E(X/[T = k]) donc la série
de terme général x i P([X = x i ]/[T = k])P([T = k]) converge et a pour somme
E(X/[T = k])P([T = k]). La série de terme général x i P([X = x i ]) converge et a
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