Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires discrètes
pour somme E(X). Par linéarité de l’application qui à une série associe sa somme, on
obtient
E(X) =
N
k=0
E(X/[T = k])P([T = k]).
b. Supposons réciproquement que, pour tout k ∈ [[0, N]], E(X/[T = k]) existe. Pour tout
k ∈ [[0, N]], la série de terme général x i P([X = x i ]/[T = k]) converge absolument,
donc la série de terme général x i P([X = x i ]/[T = k])P([T = k]) aussi et a pour
somme E(X/[T = k])P([T = k]). Alors la série de terme général x i P([X = x i ])
converge absolument comme somme de N + 1 séries absolument convergentes, donc
E(X) existe et est donnée par (∗) par linéarité de l’application qui à une série associe sa
somme.
2. Pour tout z ∈ S(V) et k ∈ N
∗ , on a
zP(S = z/[T = k]) = zP([X 1 + · · · + X k ]/[T = k]) = zP([X 1 + · · · + X k = z]),
car les variables X 1 +· · ·+X k et T sont indépendantes. Sous réserve d’absolue convergence,
on a
E(S/[T = k]) =
z∈S(V)
zP([X 1 + · · · + X k = z]) =
z∈(X1+···+Xk)(V)
zP([X 1 + · · · + X k = z]),
car (X 1 + · · · + X k )(V) ⊂ S(V) et P([X 1 + · · · + X k = z]) = 0 si z /
∈ (X 1 + · · · + X k )(V).
On reconnaît dans la somme de la série l’expression de l’espérance de X 1 + · + X k .
Chacune des variables X n a une espérance donc X 1 + · · · + X k a une espérance et
E(X 1 + · · · + X k ) =
k
i=1
E(X i ) = kE(X 1 ), car toutes les variables X i ont même loi. On en
déduit que E(S/[T = k]) existe et
E(S/[T = k]) = kE(X 1 ).
Cette formule reste vérifiée pour k = 0 car la loi de S conditionnelle à [T = 0] est celle
d’une variable nulle.
De la question 1.(b), on déduit que S possède une espérance et que
E(S) =
N
k=0
E(S/[T = k])P([T = k]) =
N
k=0
kE(X 1 )P([T = k])
= E(X 1 )
N
k=0
kP([T = k]) = E(X 1 )E(T ).
3. Considérons une suite (X i ) de variables indépendantes de même loi que U 1 . Soit n ∈ N.
On peut écrire U n+1 comme une somme de U n variables indépendantes de même loi
que U 1 , chaque variable étant égale au nombre de descendants directs d’un membre de la
n-ième génération. On peut donc écrire
U n+1 = X 1 + X 2 + · · · + X Un .
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pour somme E(X). Par linéarité de l’application qui à une série associe sa somme, on
obtient
E(X) =
N
k=0
E(X/[T = k])P([T = k]).
b. Supposons réciproquement que, pour tout k ∈ [[0, N]], E(X/[T = k]) existe. Pour tout
k ∈ [[0, N]], la série de terme général x i P([X = x i ]/[T = k]) converge absolument,
donc la série de terme général x i P([X = x i ]/[T = k])P([T = k]) aussi et a pour
somme E(X/[T = k])P([T = k]). Alors la série de terme général x i P([X = x i ])
converge absolument comme somme de N + 1 séries absolument convergentes, donc
E(X) existe et est donnée par (∗) par linéarité de l’application qui à une série associe sa
somme.
2. Pour tout z ∈ S(V) et k ∈ N
∗ , on a
zP(S = z/[T = k]) = zP([X 1 + · · · + X k ]/[T = k]) = zP([X 1 + · · · + X k = z]),
car les variables X 1 +· · ·+X k et T sont indépendantes. Sous réserve d’absolue convergence,
on a
E(S/[T = k]) =
z∈S(V)
zP([X 1 + · · · + X k = z]) =
z∈(X1+···+Xk)(V)
zP([X 1 + · · · + X k = z]),
car (X 1 + · · · + X k )(V) ⊂ S(V) et P([X 1 + · · · + X k = z]) = 0 si z /
∈ (X 1 + · · · + X k )(V).
On reconnaît dans la somme de la série l’expression de l’espérance de X 1 + · + X k .
Chacune des variables X n a une espérance donc X 1 + · · · + X k a une espérance et
E(X 1 + · · · + X k ) =
k
i=1
E(X i ) = kE(X 1 ), car toutes les variables X i ont même loi. On en
déduit que E(S/[T = k]) existe et
E(S/[T = k]) = kE(X 1 ).
Cette formule reste vérifiée pour k = 0 car la loi de S conditionnelle à [T = 0] est celle
d’une variable nulle.
De la question 1.(b), on déduit que S possède une espérance et que
E(S) =
N
k=0
E(S/[T = k])P([T = k]) =
N
k=0
kE(X 1 )P([T = k])
= E(X 1 )
N
k=0
kP([T = k]) = E(X 1 )E(T ).
3. Considérons une suite (X i ) de variables indépendantes de même loi que U 1 . Soit n ∈ N.
On peut écrire U n+1 comme une somme de U n variables indépendantes de même loi
que U 1 , chaque variable étant égale au nombre de descendants directs d’un membre de la
n-ième génération. On peut donc écrire
U n+1 = X 1 + X 2 + · · · + X Un .
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