Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires discrètes
Montrons que les variables S et E sont indépendantes. On note que S + E = N. On
obtient donc, pour (k, ) ∈ N
2 ,
P([S = k] ∩ [E = ]) = P([S = k] ∩ [N − S = ]) = P([S = k] ∩ [N = k + ]).
La loi de S sachant [N = k + ] est la loi binomiale de paramètre (k + , p). On en déduit
que
P([S = k] ∩ [E = ]) = P([S = k]/[N = k + ])P([N = k + ])
=
k +
k
p
k q
e
−l l
k+
(k + )!
=
p
k q
e
−l
k!!
.
Comme e
−l = e
−pl
· e
−ql , on obtient
P([S = k] ∩ [E = ]) =
p
k e
−pl q
e
−ql
k!!
= P([S = k])P([E = ]).
Les variables S et E sont indépendantes.
2. a. En utilisant de nouveau l’égalité N = S + E, on obtient, pour (m, n) ∈ N
2 par indépendance des variables S et E,
P([S = m])P([E = n]) = P([S = m] ∩ [E = n])
= P([S = m] ∩ [N − S = n])
= P([S = m])P([N = m + n]).
Comme P([N = m + n]) = 0, on peut écrire
P([S = m])P([E = n]) = P([S = m]/[N = m + n])P([N = m + n])
=
m + n
n
p
m q
n P([N = m + n])
= (m + n)!P([N = m + n])
p
m q
n
m!n!
soit encore
(m + n)!P([N = m + n]) =
P([S = m])m!
p m
P([E = n])n!
q n
·
En posant u m =
P([S = m])m!
p m
et v n =
P([E = n])n!
q n
, on obtient l’expression voulue.
b. On en déduit que pour (m, n) ∈ N × N
∗ ,
u m v n = (m + n)!P([N = m + n]) = ((m + 1) + (n − 1))P([(m + 1) + (n − 1)])
= u m+1 v n−1 .
Comme P([N = m + n]) = 0, u m et v n−1 ne sont pas nuls. On a donc pour
(m, n) ∈ N × N
∗ ,
u m+1
u m
=
v n
v n−1
·
540