© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
On a de plus
P[Z = 0]) = P([X Y ] =
+∞
i=0
P([X Y ] ∩ [Y = i])
=
+∞
i=0
P([X i] ∩ [Y = i])
=
+∞
i=0
P([X i])P([Y = i]).
On a pour tout i ∈ N,
P([X i]) =
i
j=0
P([X = j]) =
i
j=0
a(1 − a)
j = 1 − (1 − a)
i+1 .
On en déduit
P[Z = 0]) =
+∞
i=0
1 − (1 − a)
i+1
P([Y = i])
=
+∞
i=0
P([Y = i]) − (1 − a)
+∞
i=0
(1 − a)
i P([Y = i])
= 1 − a(1 − a).
5.
1. Les variables S et E sont à valeurs dans N. La loi de S sachant [N = n] est la loi
binomiale de paramètre (n, p). On a, pour tout k ∈ N,
P([S = k]) =
+∞
n=0
P([S = k] ∩ [N = n]) =
+∞
n=0
P([S = k]/[N = n])P([N = n])
=
+∞
n=k
n
k
p
k q
n−k e
−l l
n
n!
= e
−l
+∞
n=k
1
k!(n − k)!
p
k q
n−k l
n
=
e
−l (pl)
k
k!
+∞
n=k
(ql)
n−k
(n − k)!
·
Avec le changement d’indice j = n − k, on obtient
P([S = k]) =
e
−l (pl)
k
k!
+∞
j=0
(ql)
j
j!
=
e
−l (pl)
k
k!
e
ql =
e
−pl (pl)
k
k!
·
La variable S suit la loi de Poisson de paramètre pl.
La loi de E sachant que N = n est la loi binomiale de paramètre (n, q). Le même calcul
permet de montrer que E suit la loi de Poisson de paramètre ql.
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