Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires discrètes
Soit k ∈ N. On a, pour tout i ∈ N,
P([X = i]/[Z = k]) =
P([X = i] ∩ [Z = k])
P([Z = k])
=
P([X = i] ∩ [Y = k − i])
P([Z = k])
.
Si i > k, k − i < 0, donc P([X = i]/[Z = k]) = 0.
Si 0 i k, on obtient
P([X = i]/[Z = k]) =
1
l
k
i
l
2l + 1
k+1
1
2l + 1
2l
2l + 1
k =
k
i
1
2
k
.
La loi de X conditionnelle à [Z = k] est la loi binomiale de paramètre
k,
1
2
.
4.
La variable Z est à valeurs dans N. Pour k ∈ N
∗ , on a
P([Z = k]) = P([X − Y = k]) =
+∞
i=0
P([X − Y = k] ∩ [Y = i])
=
+∞
i=0
P([X = i + k] ∩ [Y = i])
=
+∞
i=0
P([X = i + k])P([Y = i])
=
+∞
i=0
a(1 − a)
k+i P([Y = i])
= a(1 − a)
k
+∞
i=0
(1 − a)
i P([Y = i]).
Comme la série de terme général converge absolument, on peut dire d’après le théorème de
transfert que
a = E((1 − a)
Y ) =
+∞
i=0
(1 − a)
i P([Y = i])
et donc, pour tout k ∈ N
∗ ,
P([Z = k]) = aa(1 − a)
k .
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