© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
On sait que
E(XY ) =
+∞
n=0
+∞
m=0
mnP([X = m] ∩ [Y = n])
=
+∞
n=0
+∞
m=0
mnc
m + n
n
l
2l + 1
m+n+1
=
+∞
n=0
nc
l
2l + 1
n+1
+∞
m=0
m
m + n
n
l
2l + 1
m
= c
+∞
n=0
n(n + 1)
l
2l + 1
n+2
2l + 1
l + 1
n+2
= c
+∞
n=0
(n
2 + n)
l
l + 1
n+2
.
En écrivant cela
E(XY ) =
l
l + 1
+∞
n=0
(n
2 + n)
1
l + 1
l
l + 1
n
,
on reconnaît
E(XY ) =
l
l + 1
(E(X) + E(X
2 ))
=
l
l + 1
(E(X) + V (X) + (E(X))
2 )
=
l
l + 1
(l + l(l + 1) + l
2 ) = 2l
2 .
On en déduit
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = 2l
2
− l
2 = l
2 .
4. La variable Z est à valeurs dans N et pour tout k ∈ N,
P([Z = k]) =
k
i=0
P([X = i] ∩ [Y = k − i]) =
k
i=0
c
k
i
l
2l + 1
k+1
= c
l
2l + 1
k+1 k
i=0
k
i
=
1
l
l
2l + 1
k+1
2
k
=
1
2l + 1
2l
2l + 1
k
.
La variable aléatoire Z suit la loi géométrique à valeurs dans N de paramètre
1
2l + 1
·
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