Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires discrètes
On a ensuite
+∞
n=0
+∞
m=0
P
[X = m] ∩ [Y = n]
= c
+∞
n=0
l
l + 1
n+1
= c
l
l + 1
·
1
1 −
l
l+1
= cl,
car on reconnaît la somme d’une série géométrique de raison
l
l + 1
∈ ]0, 1[, donc convergente. On a donc
c =
1
l
·
2. Pour tout n ∈ N, on a
P([Y = n]) =
+∞
m=0
P
[X = m] ∩ [Y = n]
.
Ce calcul a déjà été effectué dans la question précédente. On trouve
P([Y = n]) = c
l
l + 1
n+1
=
1
l + 1
l
l + 1
n
.
Comme 1−
1
l + 1
=
l
l + 1
, on trouve une loi géométrique à valeurs dans N de paramètre
1
l + 1
· On en déduit
E(Y ) = l + 1 − 1 = l et V (Y ) =
l
l + 1
(l + 1)
2 = l(l + 1).
L’expression de la loi conjointe est parfaitement symétrique en (m, n). Pour chercher la loi
de X, on somme sur n. On obtient la même expression : la variable X suit la même loi
géométrique. Elle a donc même espérance et même variance.
3. On sait que XY possède une espérance car X et Y ont un moment d’ordre 2.
Pour tout m > 0, on m
m + n
n
= (n + 1)
m + n
n + 1
et donc, sous réserve de convergence,
+∞
m=0
m
m + n
n
l
2l + 1
m
= (n + 1)
l
2l + 1
+∞
m=1
m + n
n + 1
l
2l + 1
m−1
= (n + 1)
l
2l + 1
+∞
k=0
k + n + 1
n + 1
l
2l + 1
k
.
On reconnaît une des sommes calculées dans le préliminaire avec p = n + 1 et toujours
x =
l
2l + 1
. Ainsi la série converge et
+∞
m=0
m
m + n
n
l
2l + 1
m
= (n + 1)
l
2l + 1
2l + 1
l + 1
n+2
.
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