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SOLUTIONS
Solutions
3.
Préliminaire
On constante que f est de classe C
∞ sur ]−1, 1[ comme quotient de fonctions C
∞ . Une
récurrence immédiate sur p ∈ N montre que, pour tout x ∈ ]−1, 1[, f
(p) (x) =
p!
(1 − x) p+1 · En
effet c’est vrai pour p = 0 et si c’est vrai au rang p alors, pour tout x ∈ ]−1, 1[,
f
(p+1) (x) = p!(−(p + 1))(−1)(1 − x)
−(p+2) =
(p + 1)!
(1 − x) p+2 ·
La dérivée p-ième de x −→ x
n est nulle si n < p et est pour n p la fonction
x −→ n(n − 1) . . . (n − p + 1)x
n−p . En utilisant le résultat que l’énoncé demande d’admettre,
on obtient donc, pour tout x ∈ ]−1, 1[,
f
(p) (x) =
+∞
n=p
n(n − 1) . . . (n − p + 1)x
n−p =
+∞
n=p
n!
(n − p)!
x
n−p
= p!
+∞
n=p
n
p
x
n−p = p!
+∞
k=0
p + k
p
x
k ,
en posant n − p = k. En comparant avec l’expression de f
(p) trouvée précédemment, on
obtient, pour tout x ∈ ]−1, 1[,
+∞
k=0
p + k
p
x
k =
1
(1 − x) p+1 ·
1. Par propriété de la loi d’un couple, on a
+∞
n=0
+∞
m=0
P
[X = m] ∩ [Y = n]
= 1.
Soit n ∈ N. On a
+∞
m=0
P
[X = m] ∩ [Y = n]
=
+∞
m=0
c
m + n
n
l
2l + 1
m+n+1
= c
l
2l + 1
n+1 +∞
m=0
m + n
n
l
2l + 1
m
.
En appliquant le résultat du préliminaire avec p = n et x =
l
2l + 1
qui appartient à ]0, 1[
car l > 0, on obtient, puisqu’alors
1
1 − x
=
2l + 1
l + 1
,
+∞
m=0
P
[X = m] ∩ [Y = n]
= c
l
2l + 1
n+1
2l + 1
l + 1
n+1
= c
l
l + 1
n+1
.
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