Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires discrètes
Chapitre 9
1.
1. On a Y (V) = [[1, n]]. En appliquant la formule des probabilités totales, on
obtient, pour tout k ∈ [[1, n]],
P([Y = k]) =
n
i=0
P([Y = k]/[X = i])P([X = i]).
Si i ∈ [[1, n]], i = k, P([Y = k]/[X = i]) = 0 ; P([Y = k]/[X = k]) = 1 et
P([Y = k]/[X = 0]) =
1
n
· On a donc
P([Y = k]) = P([X = k]) +
1
n
P([X = 0]) =
n
k
p
k q
n−k +
q
n
n
·
2. On obtient
E(Y ) =
n
k=1
kP([Y = k]) =
n
k=1
k
P([X = k]) +
q
n
n
=
n
k=1
kP([X = k]) +
q
n
n
n
k=1
k
= E(X) +
q
n
n
·
n(n + 1)
2
= np +
(n + 1)q
n
2
·
On a bien E(Y ) − E(X) =
(n + 1)q
n
2
0.
2.
Si n m, les variables (X 1 , . . . , X n , X m+1 , . . . , X m+n ) sont indépendantes et donc par
le lemme des coalitions U et V sont indépendantes. On a donc Cov(U, V ) = 0 et r U,V = 0.
Si n > m, on a en utilisant la linéarité de la covariance,
Cov(U, V ) =
n
i=1
m+n
j=m+1
Cov(X i , X j ).
Si i = j, les variables X i et X j sont indépendantes donc Cov(X i , X j ) = 0. Par ailleurs, on a
Cov(X i , X i ) = V (X i ) = s
2 . Il y autant de termes non nuls dans la double somme que d’indice
i appartenant à [[1, n]] et [[m + 1, m + n]], c’est-à-dire tels que m + 1 i n. Il y en a n − m.
On obtient donc Cov(U, V ) = (n − m)s
2 .
Comme les variables X 1 , . . . , X n d’une part et X m+1 , . . . , X m+n sont indépendantes,
on a V (U) =
n
i=1
V (X i ) = ns
2 et V (V ) =
m+n
i=m+1
V (X i ) = ns
2 . On en déduit
s(U) = s(V ) =
√
n s et finalement
r U,V =
n − m
n
·
534